Решение. 1. Доминирующих трок и столбцов нет

1. Доминирующих трок и столбцов нет

2. Вычисляем нижнюю и верхнюю цену игры

α ₁ = 2; α ₂ = 2; α ₃ = - 2; α = 2;

β ₁ = 3; β ₂ = 4; β = 3;

Таким образом, . Седловой точки нет. Решения в чистых стратегиях не существует. В соответствии с теоремой фон Неймана будем определять решение в смешанных стратегиях, при этом, α ≤ V ≤ β; 2 ≤ V ≤ 3.

4. Выбор метода решения игры. Игра имеет размерность 3 х 2, следовательно, ее целесообразно решать графическим методом.

5. Вычисляем вероятности применения стратегий S₁ и R₂ игроком B в соответствии с принципом минимакса.

5.1. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₁. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

(5.3)

5.2. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₂. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

(5.4)

5.3. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₃. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

(5.5)

5.4 Изобразим график решения задачи (рисунок 5.3)

Из уравнения (5.3): при q₁ = 0 → V = 3; при q₁ = 1 → V = 2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 3, на оси 2 – точку V = 2. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения (5.4): при q₁ = 0 → V = 2; при q₁ = 1 → V = 3. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 2, на оси 2 – точку V = 3. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения (5.5): при q₁ = 0 → V = 4; при q₁ = 1 → V = -2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 1 (точка S₃), на оси 2 – точку V = 0(точка S₃₃),. Проведем прямую линию через эти две точки.

Приравняем уравнения (5.3) и (5.4)

.

Откуда q₁ = 1/2; q₂ = 1- q₁ = 1/2.

Цена игры v = -q₁ + 3 = -1/2 + 32 = 2, 5.

Рисунок 5.3 – График решения задачи 4

Получив решение за игрока В, можно получить решение и за игрока А. Так как в решении игры за игрока В участвуют стратегии игрока А - R₁ и R₂ , следовательно вероятность применения игроком В стратегии S3 – р₃ = 0, запишем выражения для вычисления средних минимальных выигрышей игрока А при применении этих двух стратегий и соответственно применения игроком В стратегий S₁ и S₂.

Приравняем эти два уравнения:

= .

Откуда р₁ = ½, p₂ = 1-p1 = ½.

Задание 3. В соответствии с номером фамилии в журнале решить игру за игрока А и игрока В графическим методом

Вариант 1. Н = ; Вариант 2. Н = ;

Вариант 3. Н = ; Вариант 4. Н = ;

Вариант 5. Н = ; Вариант 6. Н = ;

Вариант 7. Н = ; Вариант 8. Н = ;

Вариант 9. Н = ; Вариант 10. Н =

Вариант 11. Н = ; Вариант 12. Н =

Вариант 13. Н = ; Вариант 14. Н =

Вариант 13. Н = ; Вариант 14. Н =

Вариант 15. Н = . Вариант 16. Н =

Вариант 17. Н = Вариант 18. Н =

Вариант 19. Н = Вариант 20. Н =

Вариант 21. Н = Вариант 22. Н =

Вариант 23. Н = Вариант 24. Н =

Вариант 25. Н = Вариант 26. Н =

Вариант 27 Н = Вариант 28 Н =

Вариант 29 Н = Вариант 30 Н =

Вариант 31 Н = Вариант 32 Н =

6. Задание 4 (изучить) Сведение игры к задаче линейного программирования

Если игра имеет размерность матрицы игры m x n и не имеет седловой точки (), то ее решение аналитическим и графическим методами становится невозможно. Одним из путей решения такой задачи является сведение ее к задаче линейного программирования.

Предположим, что все m стратегий игрока А являются активными (полезными). Определим вероятности их применения в смешанной оптимальной стратегии. Обозначим эти вероятности через вектор Р = (p₁, p₂, …, p_m), цену игры через V.

Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия, введенного нами в предыдущей лекции

. (1)

Пусть V = . (2)

Поскольку при оптимальной стратегии игрока А его средний выигрыш при любой стратегии игрока В должен быть не менее цены игры V, то справедлива система n неравенств:

(3)

...........................

или . (4)

Добавим к ограничениям (4) стандартные (5) и получим задачу линейного программирования

- целевая функция 2 линейна;

- системы ограничений (4) и (5) также линейны.

Для того чтобы можно было применить классический симплекс–метод или метод симплекс-таблиц преобразуем целевую функцию на максимум и введем новые неизвестные

; ; …; .

Чтобы исключить при таком преобразовании возможность деления на нуль, увеличим цену игры V на положительное число С. Для этого достаточно ко всем элементам матрицы игры a_ij добавить одно и тоже положительное число, так, чтобы все эти элементы матрицы игры стали положительными. Следует отметить. что эта операция не меняет искомых оптимальных стратегий, т.к.

при том, что , .

Разделив левую и правую части неравенств ограничений (4) и (5) на V получим новую эквивалентную систему неравенств

(6)

...........................

.

. (7)

В силу того, что max V = min , получаем задачу в новой математической формулировке:

- целевая функция → max (8)

- при ограничениях

. (9)

Это общий подход к решению игры за игрока А. Для игрока В оптимальная стратегия определяется из условия (предыдущая лекция)

(10)

при ограничении . (11)

Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока А (8), (9), т.е.:

максимизировать целевую функцию

(11)

при ограничениях

, (12)

где

. (13)

Игра задана матрицей

Н =

Требуется решить игру.