Решение. 1. Доминирующих трок и столбцов нет

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Таким образом,

. Седловой точки нет. Решения в чистых стратегиях не существует. В соответствии с теоремой фон Неймана будем определять решение в смешанных стратегиях, при этом, α ≤ V ≤ β; 2 ≤ V ≤ 3.

4. Выбор метода решения игры. Игра имеет размерность 3 х 2, следовательно, ее целесообразно решать графическим методом.

5. Вычисляем вероятности применения стратегий S₁ и R₂ игроком B в соответствии с принципом минимакса.

5.1. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₁. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

5.2. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₂. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

5.3. Пусть игрок А применяет свою стратегию R₃. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

5.4 Изобразим график решения задачи (рисунок 5.3)

Из уравнения (5.3): при q₁ = 0 → V = 3; при q₁ = 1 → V = 2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 3, на оси 2 – точку V = 2. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения (5.4): при q₁ = 0 → V = 2; при q₁ = 1 → V = 3. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 2, на оси 2 – точку V = 3. Проведем прямую линию через эти две точки.

Из уравнения (5.5): при q₁ = 0 → V = 4; при q₁ = 1 → V = -2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 1 (точка S₃), на оси 2 – точку V = 0(точка S₃₃),. Проведем прямую линию через эти две точки.

Получив решение за игрока В, можно получить решение и за игрока А. Так как в решении игры за игрока В участвуют стратегии игрока А - R₁и R₂, следовательно вероятность применения игроком В стратегии S3 – р₃ = 0, запишем выражения для вычисления средних минимальных выигрышей игрока А при применении этих двух стратегий и соответственно применения игроком В стратегий S₁ и S₂.

Задание 3. В соответствии с номером фамилии в журнале решить игру за игрока А и игрока В графическим методом

6. Задание 4 (изучить) Сведение игры к задаче линейного программирования

Если игра имеет размерность матрицы игры m x n и не имеет седловой точки (

), то ее решение аналитическим и графическим методами становится невозможно. Одним из путей решения такой задачи является сведение ее к задаче линейного программирования.

Предположим, что все m стратегий игрока А являются активными (полезными). Определим вероятности их применения в смешанной оптимальной стратегии. Обозначим эти вероятности через вектор Р = (p₁, p₂, …, p_m), цену игры через V.

Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия, введенного нами в предыдущей лекции

Поскольку при оптимальной стратегии игрока А его средний выигрыш при любой стратегии игрока В должен быть не менее цены игры V, то справедлива система n неравенств:

Добавим к ограничениям (4) стандартные

(5) и получим задачу линейного программирования

Для того чтобы можно было применить классический симплекс–метод или метод симплекс-таблиц преобразуем целевую функцию на максимум и введем новые неизвестные

Чтобы исключить при таком преобразовании возможность деления на нуль, увеличим цену игры V на положительное число С. Для этого достаточно ко всем элементам матрицы игры a_ij добавить одно и тоже положительное число, так, чтобы все эти элементы матрицы игры стали положительными. Следует отметить. что эта операция не меняет искомых оптимальных стратегий, т.к.

Разделив левую и правую части неравенств ограничений (4) и (5) на V получим новую эквивалентную систему неравенств

В силу того, что max V = min

, получаем задачу в новой математической формулировке:

Это общий подход к решению игры за игрока А. Для игрока В оптимальная стратегия определяется из условия (предыдущая лекция)

Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока А (8), (9), т.е.: