Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Решение. 1. Доминирующих трок и столбцов нет






    1. Доминирующих трок и столбцов нет

    2. Вычисляем нижнюю и верхнюю цену игры

    α 1 = 2; α 2 = 2; α 3 = - 2; α = 2;

    β 1 = 3; β 2 = 4; β = 3;

    Таким образом, . Седловой точки нет. Решения в чистых стратегиях не существует. В соответствии с теоремой фон Неймана будем определять решение в смешанных стратегиях, при этом, α ≤ V ≤ β; 2 ≤ V ≤ 3.

    4. Выбор метода решения игры. Игра имеет размерность 3 х 2, следовательно, ее целесообразно решать графическим методом.

    5. Вычисляем вероятности применения стратегий S1 и R2 игроком B в соответствии с принципом минимакса.

    5.1. Пусть игрок А применяет свою стратегию R1. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

    (5.3)

    5.2. Пусть игрок А применяет свою стратегию R2. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

    (5.4)

    5.3. Пусть игрок А применяет свою стратегию R3. Максимальный средний проигрыш игрока В в этом случае вычисляется по формуле

    (5.5)

     

    5.4 Изобразим график решения задачи (рисунок 5.3)

     

    Из уравнения (5.3): при q1 = 0 → V = 3; при q1 = 1 → V = 2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 3, на оси 2 – точку V = 2. Проведем прямую линию через эти две точки.

    Из уравнения (5.4): при q1 = 0 → V = 2; при q1 = 1 → V = 3. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 2, на оси 2 – точку V = 3. Проведем прямую линию через эти две точки.

    Из уравнения (5.5): при q1 = 0 → V = 4; при q1 = 1 → V = -2. Отметим на оси 1 точку с координатой V = 1 (точка S3), на оси 2 – точку V = 0(точка S33),. Проведем прямую линию через эти две точки.

    Приравняем уравнения (5.3) и (5.4)

    .

    Откуда q1 = 1/2; q2 = 1- q1 = 1/2.

     

    Цена игры v = -q1 + 3 = -1/2 + 32 = 2, 5.

     
     

     


    Рисунок 5.3 – График решения задачи 4

     

    Получив решение за игрока В, можно получить решение и за игрока А. Так как в решении игры за игрока В участвуют стратегии игрока А - R1 и R2 , следовательно вероятность применения игроком В стратегии S3 – р3 = 0, запишем выражения для вычисления средних минимальных выигрышей игрока А при применении этих двух стратегий и соответственно применения игроком В стратегий S1 и S2.

    Приравняем эти два уравнения:

    = .

    Откуда р1 = ½, p2 = 1-p1 = ½.

     

    Задание 3. В соответствии с номером фамилии в журнале решить игру за игрока А и игрока В графическим методом

     

    Вариант 1. Н = ; Вариант 2. Н = ;

     

    Вариант 3. Н = ; Вариант 4. Н = ;

     

    Вариант 5. Н = ; Вариант 6. Н = ;

     

    Вариант 7. Н = ; Вариант 8. Н = ;

     

    Вариант 9. Н = ; Вариант 10. Н =

     

    Вариант 11. Н = ; Вариант 12. Н =

     

    Вариант 13. Н = ; Вариант 14. Н =

     

    Вариант 13. Н = ; Вариант 14. Н =

     

    Вариант 15. Н = . Вариант 16. Н =

     

    Вариант 17. Н = Вариант 18. Н =

     

    Вариант 19. Н = Вариант 20. Н =

     

    Вариант 21. Н = Вариант 22. Н =

     

    Вариант 23. Н = Вариант 24. Н =

     

    Вариант 25. Н = Вариант 26. Н =

     

    Вариант 27 Н = Вариант 28 Н =

     

    Вариант 29 Н = Вариант 30 Н =

     

    Вариант 31 Н = Вариант 32 Н =

     

    6. Задание 4 (изучить) Сведение игры к задаче линейного программирования

    Если игра имеет размерность матрицы игры m x n и не имеет седловой точки (), то ее решение аналитическим и графическим методами становится невозможно. Одним из путей решения такой задачи является сведение ее к задаче линейного программирования.

    Предположим, что все m стратегий игрока А являются активными (полезными). Определим вероятности их применения в смешанной оптимальной стратегии. Обозначим эти вероятности через вектор Р = (p1, p2, …, pm), цену игры через V.

    Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия, введенного нами в предыдущей лекции

    . (1)

     

    Пусть V = . (2)

    Поскольку при оптимальной стратегии игрока А его средний выигрыш при любой стратегии игрока В должен быть не менее цены игры V, то справедлива система n неравенств:

     

    (3)

    ...........................

    или . (4)

    Добавим к ограничениям (4) стандартные (5) и получим задачу линейного программирования

    - целевая функция 2 линейна;

    - системы ограничений (4) и (5) также линейны.

    Для того чтобы можно было применить классический симплекс–метод или метод симплекс-таблиц преобразуем целевую функцию на максимум и введем новые неизвестные

    ; ; …; .

    Чтобы исключить при таком преобразовании возможность деления на нуль, увеличим цену игры V на положительное число С. Для этого достаточно ко всем элементам матрицы игры aij добавить одно и тоже положительное число, так, чтобы все эти элементы матрицы игры стали положительными. Следует отметить. что эта операция не меняет искомых оптимальных стратегий, т.к.

    при том, что , .

    Разделив левую и правую части неравенств ограничений (4) и (5) на V получим новую эквивалентную систему неравенств

     

    (6)

    ...........................

    .

     

    . (7)

    В силу того, что max V = min , получаем задачу в новой математической формулировке:

     

    - целевая функция → max (8)

    - при ограничениях

    . (9)

    Это общий подход к решению игры за игрока А. Для игрока В оптимальная стратегия определяется из условия (предыдущая лекция)

     

    (10)

    при ограничении . (11)

    Эта задача записывается как симметричная двойственная задача линейного программирования к задаче игрока А (8), (9), т.е.:

    максимизировать целевую функцию

     

    (11)

    при ограничениях

    , (12)

    где

    . (13)

    Игра задана матрицей

    Н =

    Требуется решить игру.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.