Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Графический метод решения игры






    Решение игры в смешанных стратегиях допускает графическую интерпретацию в том и только в том случае, если хотя бы один игрок имеет всего лишь две стратегии, т.е. игры размерности 2 х 2, 2 х n и m x 2.

    Рассмотрим игру в 2 х n. Матрица игры имеет вид

     

    Н =

     

    Предположим, что игра не имеет седловой точки и решение имеется только в смешанных стратегиях. Необходимо:

    1) вычислить вероятности р1* и р2*, при которых реализуется максиминная стратегия игрока А;

    2) цену игры V.

    Стратегии игроков А и В покажем в виде таблицы 5.

    Таблица 5 – Стратегии игроков в игре 2 x n

    Стратегии игрока A Стратегии игрока В
      Вероятности стратегий игрока А S1 S2 Sn
    R1 р1 a11 a12 a1n
    R2 р2 a21 a22 a2n
    Вероятности стратегий игрока В q1 q2 qn

     

    Так как р1 + р2 = 1, то р2 = 1 - р1 , и соответственно, т. к. q1 + q2 = 1, то q2 = 1 - q1.

    Учитывая это, запишем выражение для минимального ожидаемого среднего выигрыша игрока А при применении игроком В стратегии S1

    (5.1)

    Аналогично запишем выражение для минимального ожидаемого среднего выигрыша игрока А при применении игроком В стратегии S2

    (5.2)

    Аналогично получаются другие выражения при применении игроком В всех остальных стратегий. Так, если игрок В применит стратегию Sn, то выражение для минимального среднего ожидаемого выигрыша игрока А при применении игроком В стратегии Sn примет вид

    Из анализа этих зависимостей следует, что минимальный ожидаемый средний выигрыш игрока А при применении игроком В любой стратегии Si линейно зависит от р1 , т.е. в общем виде эта зависимость может быть записана следующим образом

    y = k x + b,

    где y – это ;

    k = разность элементов соответствующего столбца матрицы игры;

    b – значение соответствующего элемента последней строки матрицы игры.

    Этот вывод и позволяет достаточно просто получить решение игры графическим методом.

    В декартовой системе координат по оси х (ось вероятности р1) отложим единичный отрезок (рисунок 5.1). Точка х = 0 соответствует р1 = 0, точка х = 1 соответственно р1 = 1.

     

     
     

     

     


     
    х


    р2
    p1

     

     

    Рисунок 5.1 – Графическая интерпретация игры 2 х 2 в смешанных стратегиях

    (для игрока А)

     

    Из точки х = 0 проведем вертикальную линию (левую ось ординат - ось 1). Из точки х = 1 проведем вертикальную линию (правую ось ординат- ось 2).

    Пусть игрок В применяет свою чистую стратегию S1, то при p1 = 0 из (5.1) M1[S1] = a21. Отложим эту точку на вертикальной оси 1 (точка S1). При p1 = 1 из (5.1) M1[S1] = a11. Отложим эту точку на вертикальной оси 2 (точка S11). Соединим эти точки прямой линией (получим прямую S1-S11). Ординаты этой прямой будут соответствовать минимальному среднему ожидаемому выигрышу игрока А при применении игроком В стратегии S1 и изменении вероятности применения игроком А стратегии R1 от 0 до 1 (р1 меняется от 0 до 1)..

    Пусть игрок В применяет свою чистую стратегию S2, то при p1 = 0 из (5.2) M1[S2] = a22. Отложим эту точку на вертикальной оси 1 (точка S2). При p1 = 1 из (5.2) M1[S2] = a11. Отложим эту точку на вертикальной оси 2 (точка S22). Соединим эти точки прямой линией (получим прямую S2-S22). Ординаты этой прямой будут соответствовать минимальному ожидаемому выигрышу игрока А при применении игроком В стратегии S2 и изменении вероятности применения игроком А стратегии R1 от 0 до 1 (р1 меняется от 0 до 1). Точка пересечения этих двух прямых и была бы решением игры, если бы у игрока В было тоже всего две стратегии. Ордината этой точки дает максимальный из минимальных выигрышей игрока А, т.е. это и есть цена игры V. Расстояние от точки р1 = 0 до точки М – показывает оптимальное значение р1 (значение р1*, при котором игрок А будет получать максимальный из минимальных выигрышей при применении игроком В стратегий S1 и S2. Расстояние от точки М до точки р1 = 1 даст значение р2*.

    Цену игры V можно получить и аналитически, вычислив любое из выражений (5.1, 5.2, …).

    Аналогично можно построить прямые для других стратегий игрока В. В этом случае на графике, изображенном на рисунке 5.1 будет не две, а несколько пересекающихся (или не пересекающихся) прямых. Решение игры (цену игры и значения вероятностей р1*, р2*) даст та точка, которая будет иметь минимальную ординату.

    Цену игры можно получить и аналитически, приравняв уравнения тех прямых, которые дают точку с минимальной ординатой.

    На рисунке 5.1 прямые, соответствующие стратегиям S1, S2 пересекаются. Однако так бывает далеко не всегда. Отсутствие точки пересечения сигнализирует о том, что у игрока В имеется доминируемая стратегия.

    Отметим, что такую же графическую интерпретацию можно построить и для минимаксной стратегии игрока В. При этом необходимо использовать только те две стратегии, которые участвовали в решении задачи для игрока, А. Кроме того, вместо максимума нижней границы рассматривается минимум верхней.

     

    Задача 3. Решить игру 2 х n, заданную матрицей игры

     

    А = .






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.