Розкладання за формулою Тейлора основних елементарних функцій.

Відмітимо важливий частинний випадок формули Тейлора, який отримується при :

, (15.1)

де – нескінченно мала вищого порядку, ніж при . Формула (15.1) називається формулою Маклорена ^[4]. Знайдемо розкладання за цією формулою деяких основних елементарних функцій.

1. .

Маємо: , отже . Підставляючи в формулу (15.1), отримуємо:

.

2. .

Скористаємось формулою:

.

Звідси:

.

При парних, тобто , цей вираз дорівнює нулю, а при непарних, тобто , дорівнює . Таким чином формула Маклорена для функції буде містить лише непарні степені (це цілком узгоджується з тим, що функція непарна). Отже:

.

Ми написали у залишковому члені , а не , оскільки наступний за останнім виписаним доданком член формули Тейлора дорівнює нулю.

3. Аналогічно

.

4. .

Маємо:

,

,

,

,

,

…

Підставивши в формулу Маклорена, отримаємо:

,

5. .

Якщо натуральне число, то – многочлен, і формулою Маклорена для нього (при цьому без залишкового члену) буде формула бінома Ньютона. У випадку, коли не є натуральним, формула бінома Ньютона не має місця, і тому користуємось загальною формулою Маклорена.

,

,

,

,

…

, .

Підставляючи в формулу Маклорена, отримаємо:

.

Зокрема

,

тобто отримали уточнення формули , наведеної в п. 10.

Приклади.

1. Розкласти за формулою Маклорена функцію до .

Безпосереднє послідовне диференціювання даної функції приводитиме до громіздких виразів. Але, використовуючи розвинення за формулою Маклорена функції , цю задачу можна розв’язати простіше. Розглянемо:

.

З формули

дістаємо:

.

Таким чином:

.

2. Розкласти за формулою Маклорена до функцію .

Маємо:

.

З формули

дістаємо: ,

.

Звідси маємо:

.