Якщо , то рішення

, (10.21)

ЗДР (10.13) при P* (t) 0 і початкових умовах і описує так званий затухаючий аперіодичний рух тіла. Оскільки th bt при

t змінюється в межах від 0 до 1, то з (10.21) витікає, що переміщення u (t) зберігає знак за умови . Цій умові задовольняють точки фазової площини, розташовані при > 0 над прямою v = , при < 0 — під цією прямою (рис. 10.3). Якщо початкова точка розташована в пер­шому або третьому квадранті фазової площини, то загасання немонотонне (суцільна крива на рис. 10.4), а монотонному загасанню (штрихова крива на рис. 10.4) відповідають області, відмічені на рис. 10.3 горизонтальною штрихов­кою. Розташування початкової точки в областях з вертикальним штрихуванням (див. рис. 10.3) наводить до загасання із зміною знаку переміщення (штрих-пунктирна лінія на рис. 10.). Якщо , то корні характеристичного рівняння ЗДР (10.14) кратні. Тоді рішення u(t) = мож­на отримати з (10.21)

Рис. 10.3 Рис. 10.4

граничним переходом при . Цей випадок відповідає лише формальній границі між колива­льними і аперіодичними процесами, оскільки реально добитися на практиці точного виконання рівності = h не удається. При система, виведена з положення рів­новаги, найшвидше наближається до нього. Цю властивість використовують при проектуванні амортизаторів і віброзахисних пристроїв, при підборі параметрів заспокоювачів у стрі­лочних вимірювальних приладах і інших технічних об’єктах.

Ясно, що всі варіанти рішення ЗДР (10.13), отримані вище при P* (t) 0, залишаться в силі і при P* (t) Р = const, якщо відлік значень і функції u (t) вести від значення и° = Р/с. При зміні зовнішньої сили згідно із законом P* (t)= P ЗДР (10.13) можна записати у вигляді

.

Нескладно перевірити, що цьому ЗДР задовольняє частинне рішення

u (t)= , де

, . (10.22)

Вигляд амплітудно-частотної А (р) і фазово-частотної харак­теристик лінійного осцилятора представлені на рис. 10.5 і не залежить від початкових умов. Абсциса максимуму амплітуд­но-частотної характеристики при 0 прямує до значення , а ордината максимуму необмежено зростає.

Функція визначає сталий періодичний процес вимушених коливань осцилятора при періо­дичній зовнішній дії на відміну від вільних ко­ливань, коли відсутня змінна за часом зовнішня дія. Вільні коливання осцилятора залежать лише від характеристик його елементів і початкових умов (в разі гармонійного осцилятора їх зазвичай називають власними коливаннями, оскільки їх кутова частота визначаться рішенням відповідної задачі на власні значе­ння [1]). При h > 0

Рис. 10.5

встановленню процесу вимушених коливань передує так званий перехідний про­цес, тривалість якого залежить від темпу загасання вільних коливань осцилятора. Для лінійного осцилятора це загасання відбувається при t . Тому тривалість перехідного процесу оцінюють по заданому відносному зменшенню напіврозмахів вільних коливань.

Величину D прийнято називати добротністю осцилятора. Чим вище значення D, тим ближче осцилятор до гармо­нічного. Так, для електричного коливального контуру при частоті = 10⁴ Гц удається добитися значення D 100, для кварцового генератора в електронному годиннику ( = 10⁵ Гц) і мікрохвильового об'ємного резонатора

( = 10¹⁰ Гц) — D = 2 • 10⁴, а для частотно - стабілізованого

СО₂ - лазера () — D .

Кутову частоту коливань механічного лінійного осцилятора можна виразити через його добротність і кутову частоту гармонійного осцилятора у вигляді . При високій добротності можна записати . Ця оцінка справедлива не лише для механічного лінійного осцилятора, але і для електричного коливального контуру і взагалі для будь-якого лінійного осцилятора, в якому відбуваються коливальні процеси довільної фізичної природи.

Контрольні запитання