Основні етапи математичного моделювання

Для обговорення та обґрунтування основних підходів до розроблення проблем математичного моделювання технічних пристроїв і процесів у них представляється доцільним попередньо розглянути умовну схему (рис. 1.2), що визначається послідовність проведення окремих етапів загальної процедури обчислювального експерименту. Вихідною позицією цієї схеми служить технічний (фізичний) об'єкт (ТО), під яким будемо розуміти конкретне технічний пристрій, його агрегат або вузол, систему пристроїв, фізичний процес, явище чи окрему ситуацію в будь-якій системі або пристрої.

Рис. 1.2

На першому етапі здійснюють неформальний перехід від розглянутого (розробляється чи існуючого) ТО до його розрахункової схемою (PC). При цьому, залежно від спрямованості обчислювального експерименту та його кінцевої мети акцентують ті властивості, умови роботи і особливостей ТО, які разом з параметрами, що їх характеризують, повинні знайти відображення в PC, і, навпаки, аргументують допущення і спрощення, що дозволяють не враховувати у PC ті якості ТО, вплив яких припускають у даному випадку несуттєвим. Іноді замість PC використовують термін змістовна модель ТО, а в деяких випадках - концептуальна модель.

У сформованих інженерних дисциплінах (наприклад, в опорі матеріалів, електротехніки та електроніки) окрім описової (вербальної) інформації для характеристики PC розроблені спеціальні прийоми і символи наочного графічного зображення. По ряду нових напрямків розвитку техніки подібна символіка знаходиться в стадії формування.

При розробці нових ТО успішне проведення першого етапу значною мірою залежить від професійного рівня дослідника, його творчого потенціалу та інтуїції. Повнота і правильність обліку в PC властивостей ТО, істотних з точки зору поставленої мети дослідження, є основною передумовою отримання в подальшому достовірних результатів математичного моделювання. І навпаки, сильна ідеалізація ТО заради отримання простої PC може знецінити всі наступні етапи дослідження.

Зміст другого етапу полягає, по суті, у формальному, математичному описі PC. Цей опис у вигляді математичних співвідношень, що встановлюють зв'язок між параметрами, що характеризують PC TO, і називають математичною моделлю (ММ).

Треба сказати, що для деяких типових PC існують банки ММ, що спрощує проведення другого етапу. Більш того, одній і тій же ММ може відповідати PC, що складається з різних предметних областей. Проте при розробці нових ТО часто не вдається обмежитися застосуванням типових PC і відповідаючих їм вже побудованих ММ. Створення нових ММ або модифікація існуючих повинне спиратися на достатньо глибоку математичну підготовку і володіння математикою як універсальною мовою науки.

На третьому етапі проводять якісний і оцінний кількісного аналіз побудованої ММ. При цьому можуть бути виявлені протиріччя, ліквідація яких вимагатиме уточнення або перегляду PC (штрихова лінія на рис. 1.2). Кількісні оцінки можуть дати підстави спростити модель, виключивши з розгляду деякі параметри, співвідношення або їх окремі складові, незважаючи на те що вплив описуваних ними чинників враховано в PC. У більшості випадків, приймаючи додаткові по відношенню до PC допущення, корисно побудувати такий спрощений варіант ММ, який дозволяв би отримати або залучити відоме точне рішення. Це рішення потім можна використовувати для порівняння при тестуванні результатів на наступних етапах. У деяких випадках вдається побудувати кілька ММ для одного і того ж ТО, які відрізняються різним рівнем спрощення. У цьому випадку говорять про ієрархію ММ (грецьке слово походить від - священний і - влада і в даному випадку означає впорядкування ММ за ознакою їх складності і повноти).

Побудова ієрархії ММ пов'язано з різною деталізацією властивостей досліджуваного ТО. Порівняння результатів дослідження різних ММ може істотно розширити і збагатити знання про це ТО. Крім того, таке порівняння дозволяє оцінити достовірність результатів подальшого обчислюваного експерименту: якщо більш проста ММ правильно відображає деякі властивості ТО, то результати дослідження цих властивостей повинні бути близькі до результатів, отриманих при використанні більш повної і складної ММ. Підсумок аналізу на розглянутому етапі - це обґрунтований вибір робочої ММ ТО, яка підлягає надалі детальному кількісному аналізу. Успіх у проведенні третього етапу залежить, як правило, від глибини розуміння зв'язку окремих складових ММ з властивостями ТО, що знайшли відображення в його PC, що передбачає органічне поєднання володіння математикою та інженерними знаннями в конкретній предметній області.

Четвертий етап полягає в обґрунтованому виборі методу кількісного аналізу ММ, в розробці ефективного алгоритму обчислювального експерименту, а п'ятий етап - у створенні працездатної програми, що реалізує цей алгоритм засобами обчислювальної техніки. Для успішного проведення четвертого етапу необхідно володіти арсеналом сучасних методів обчислювальної математики, а при математичному моделюванні досить складних ТО виконання п'ятого етапу вимагає професійної підготовки в області програмування на ЕОМ.

Отримувані на шостому етапі (у результаті роботи програми) результати обчислень повинні перш за все пройти тестування шляхом зіставлення з даними кількісного аналізу спрощеного варіанту ММ розглянутого ТО. Тестування може виявити недоліки як у програмі, так і в алгоритмі і зажадати доопрацювання програми або ж модифікації і алгоритму і програми. Аналіз результатів обчислень та їх інженерна інтерпретація можуть викликати необхідність в коректуванні PC і відповідної ММ. Після усунення всіх виявлених недоліків тріаду " модель - алгоритм - програма" можна використовувати як робочий інструмент для проведення обчислювального експерименту та вироблення на основі отриманої кількісної інформації практичних рекомендацій, спрямованих на вдосконалення ТО, що становить зміст сьомого, завершального " технологічний цикл" етапу математичного моделювання.

Представлена послідовність етапів носить загальний і універсальний характер, хоча в деяких конкретних випадках вона може й трохи видозмінюватися. Якщо при розробці ТО можна використовувати типові PC і ММ, то відпадає необхідність у виконанні ряду етапів, а при наявності і відповідного програмного комплексу процес обчислювального експерименту стає в значній мірі автоматизований. Проте математичне моделювання ТО, не мають близьких прототипів, як правило, пов'язане з проведенням всіх етапів описаного " технологічного циклу".