Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа преобразо-вания комплексного чертежа основана на принципе относительности движе-ния. Если геометрический объект не может переместиться из общего по от-ношению к исходной системе плоскос-

тей проекций положения в то или иное частное, то необходимо ту или иную

плоскость проекций переместить от-

носительно неподвижного объекта до такого положения, по отношению к ко-торому этот объект займёт то или иное искомое частное положение.

При этом следует обязательно со-хранять ортогональность нового поло-жения той или иной плоскости проекций по отношению к той плоскости проекций исходной системы, которая оставалась неподвижной.

Таким образом, можно говорить о наличии исходной системы плоскостей проекций П₁ ^ П₂ и новых систем П₄ ^ П₁, П₄ ^ П₂, получаемых заменой одной из исходных плоскостей проекций П₂ или П₁ на новую плоскость П₄, играющую роль заменяемой плоскости исходной системы.

Заменой одной плоскости проекций будут решаться первые основные за-дачи на прямую и плоскость (см.п.12.4, задачи 1.1, 2.1).

Для решения вторых основных за-дач на прямую и плоскость новые си-стемы П₄ ^ П₁ и П₄ ^ П₂, полученные после первой замены, принимаются за исходные, которые преобразуются в но-вые системы П ₅ ^ П₄, в которых плос-

кость П ₅ играет роль заменяемых плос-костей П₁ или П₂, оставшихся незаме-нёнными после первого преобразова-ния.

12.5.1. Замена одной плоскости проекций и решение метрических задач

 

Если в исходной системе плоскос-тей проекций П₁ ^ П₂ изображена точка А (А₁, А₂), и, допустим, плоскость П₂ заме-няется на плоскость П₄ ^ П₁, то, так как плоскость П₄ так же параллельна высо-те точки А над плоскостью П₁, как и за-меняемая плоскость П₂, эта высота (А₁₂ А₂) метрически определяет удаление новой проекции А₄ точки А от новой оси х₁₄ по направлению линии связи, перпе-ндикулярной к ней и проходящей через оставшуюся проекцию А₁ (А₁₄ А₄ = А₁₂ А₂) (рис.11.25, а).

Если в исходной системе плоскос-тей проекций П₁ ^ П₂ заменить плоско-

сть П₁ на П₄ ^П₂ , то А₂А₄ ^ х₂₄ и А₂₄А₄=

= А₁А₁₂ (рис 11.25, б)

. Обобщая, получаем ПРАВИЛО 8:

Если в исходной системе плоскос-

тей проекций заменяется одна из них, то новая проекция точки располага-ется на новой линии связи, проходя-

щей через её оставшуюся старую проекцию перпендикулярно к новой оси и удаляется от неё на расстоя-

Рис. 11.26. Замена одной плоскости проекций для преобразования проекций прямой из общего положения

в положение линии уровня

 

 

 

Рис.11.27. Замена одной плоскости проекций для преобразования проекций плоскости общего положения в проецирующее

ние, равное удалению старой заменя-емой проекции точки от старой оси.

1. Графические решения первой основной задачи на прямую

 

Задача 1.1. Преобразовать проекции от-резка АВ прямой а общего положения в проекции этого отрезка в положении ли-нии уровня (рис.11.26, а, б)

Решение: Для того, чтобы преобразо-атьпроекции отрезка общего положения в положение фронтальной линии уровня, не-обходимо и достаточно старую ось проек-ций х₁₂ заменить на новую х₁₄, расположен-ную параллельно А₁В₁. Новая проекция А₄В₄ отрезка АВ на плоскость П_{4 ,} построенная по точкам согласно правилу 1, содержит в cе-бе информацию о его длине и величине угла j ° его наклона к П₁ (рис.11.26, а).

Для того, чтобы преобразовать проек-ции отрезка АВ общего положения в поло-жение «горизонтальной» линии уровня, не-обходимо (рис11.26, б):

1. х₁₂ ↷ х₂₄ || А₂ В_{2 ;}

2. А₂ А₄ ^ х₂₄; А ₂₄ А₄ = А₁ А₂;

3. В₂В₄ ^ х₂₄; В ₂₄ В₄ = В₁ В₁₂;

4. А₄ В₄ =| АВ |; Ð А ₄ В_4, х₂₄ = y ° к П₂.

2. Графические решения первой

основной задачи на плоскость

Задача 1.2. Преобразовать проекции плоскости a (а ´ b ) общего положения в проекции этой же плоскости в проециру-ющем положении (рис. 11.27, а, б)

Решение: По условию плоскость a за-нимает в пространстве общее положение. Это значит, что её можно считать общей гранью двух двугранных углов между нею и плоскостями проекций П₁ и П₂, рёбрами ко-

торых будут соответственно её горизонта-льный и фронтальный следы. Мерой этих двугранных углов будут величины их линей-ных углов, стороны которых позиционно являются линиями пересечения их граней плоскостями, перпендикулярными к их рёб-рам. Но, так как рёбра, - это следы, а сле-ды, - это линии уровня, то плоскость П₄, перпендикулярная к плоскости a, для того, чтобы быть проецирующей, должна быть

перпендикулярна к той или иной линии уро-

вня этой плоскости, т.е.,

1. П ₄ ^ (hÎ a) Þ П₄ ^ П₁ Ù ^ a;

2. П ₄ ^ (fÎ a) Þ П₄ ^ П ₂ Ù ^ a.

Исходя из этих соображений:

1. Для того, чтобы преобразовать про-екции плоскости a общего положения в её же проекции, но находящейся во фронталь-но–проецирующем положении, необходимо:

1.1. a É h; h₂ ^A₁ A₂; h₁ Î a₁;

1.2. x₁₂ ↷ x₁₄ ^ h₁;

1.3. A₁ A₄ ^ x₁₄ Ù A₁₄A₄ = A₁₂ A_{2 ;}

1.4. h₁ ↷ h₄ ^ x₁₄; h₄ - точка;

h₄, A₄ º a₄ - прямая линия.

Ð a₄, x₁₄ = | j ° | a к П_{1 .}

2. Для того, чтобы преобразовать про-екции плоскости a общего положения в её же проекции, но находящиеся в «горизонта-льно-проецирующем» положении, необхо-димо:

2.1. a É f; f₁ ^ A₁ A₂; f₂ Î a₂;

2.2. x₁₂ ↷ x₂₄ ^ f₂;

2.3. A₂ A₄ ^ x₂₄ Ù A₂₄ A₄ = A₁ A₁₂;

2.4. f₂ → f₄ ^ x₂₄; f₄ – точка.

f₄, A₄ º a₄ – прямая линия.

Ð a₄, х₂₄ = | y °| a к П_{2 .}

12.5.2. Замена двух плоскостей