Порошковых материалов

Условия пластичности (3.38) и (3.59), рассмотренные в п. 3.2, описывают механическое поведение несплошных тел, которые деформируются только за счет пластического сдвига твердой фазы. В этом случае предел текучести материала твердой фазы t_s не зависит от величины среднего напряжения s. Порошок представляет собой ансамбль частиц, способный пластически деформироваться как за счет пластического сдвига частиц, так и за счет скольжения контактирующих частиц, поэтому для порошкового тела будем рассматривать два предела текучести – трения скольжения t _ск и сдвига t_s. Предел текучести скольжения t _ск зависит от величины среднего напряжения s, и эту зависимость примем в форме закона трения Кулона:

, (3.61)

где K ₀ – константа сдвигового сцепления; f – коэффициент внутреннего трения. С ростом сжимающего среднего напряжения s величина t _ск стремится к своему предельному значению t ₀, равному пределу текучести t_s для пластичных частиц или пределу сдвиговой прочности t_b для хрупких частиц. Условие пластичности Мизеса гипотетического беспористого тела Кулона является кусочно-гладким и запишется в виде

при s £ s ^*; при s > s ^*, (3.62)

где s ^* – среднее напряжение, при котором наступает пластическая деформация или разрушение частиц, s ^* = ()/ f. Кусочно-гладким будет и условие пластичности для пористого тела Кулона, которое найдем при предельном переходе из упругой области в пластическую область с использованием гипотезы Бельтрами. В работе [12] при предельном переходе получено следующее условие пластичности:

при s £ s^*; (3.63, а)

при s > s^*. (3.63, б)

В этом условии пластичности полагается, что в предельном состоянии находится весь объем твердой фазы, количественной мерой которого служит относительная плотность r в правой части уравнений (3.63). В подразд. 3.2 было показано, что для порошковых тел следует рассматривать предельное состояние контактного объема. Тогда условие пластичности запишется в следующем виде:

при s £ s^*; (3.64, а)

при s > s^*, (3.64, б)

где a – относительная доля контактного объема, зависящая от текущей относительной плотности порошка r. Условие пластичности (3.64) впервые было предложено в работах [7, 205]. Как уже отмечалось, из двух наиболее известных зависимостей a (r) более удобной для определения эмпирических параметров является зависимость М.Ю. Бальшина [9]

, (3.65)

где r ₀ – насыпная плотность порошка; b – эмпирическая константа.

Качественные особенности условия пластичности (3.64) рассмотрим при анализе формы кривой нагружения на плоскости р – Т, где р = - s – гидростатическое давление. Кроме того, найдем определяющие соотношения, ассоциированные с условием пластичности (3.64).

Для приведения уравнения поверхности нагружения (3.64, а) к каноническому виду запишем его следующим образом:

, (3.66)

где F – функция плотности и внутреннего трения,

. (3.67)

Форма кривой второго порядка (3.66) зависит от знака функции F и, следовательно, плотности порошкового материала. Если r_F является решением уравнения F = 0, то при r ₀ < r < r_F функция F > 0 и уравнение (3.66) описывает эллипс

(3.68)

с полуосями

; , (3.69)

смещенный вправо вдоль оси р на величину D = aK ₀ f× F ^-1 (рис. 3.9, а). Вектор скорости деформации направлен по нормали к кривой нагружения и знак его проекции на направление оси s определяет знак скорости изменения объема е. На экваторе эллипса (3.68) при р = D скорость объемной деформации е = 0; при р < D величина е > 0 и деформирование сопровождается разрыхлением; при р > D величина
е < 0 и происходит уплотнение порошка.

Определяющие соотношения найдем из ассоциированного закона течения:

, (3.70)

где l – неопределенный множитель Лагранжа; Ф – функция нагружения. После дифференцирования уравнения (3.68) и преобразований получим

. (3.71)

При r = r_F функция F = 0 и уравнение (3.66) является уравнением параболы

. (3.72)

Выпуклостью парабола обращена в сторону растягивающих средних напряжений (рис. 3.9, б). При любой величине давления
р < p ^* на кривой (3.72) скорость объемной деформации е > 0 и происходит разрыхление порошка. Таким образом, величина r_F определяет ту плотность порошка, выше которой уплотнение за счет скольжения невозможно. Для параболического условия пластичности определяющие соотношения имеют вид

. (3.73)

а б

в г

р * д

Р и с. 3.9. Влияние структурного состояния порошкового тела на форму кривых нагружения

Наконец, при r_F < r < 1 функция F < 0 и уравнение (3.66) является уравнением гиперболы

(3.74)

с параметрами

; (3.75)

и центром симметрии, смещенным влево по оси р на величину
D₁ = - afK ₀× F ^–1 (рис. 3.9, в). Как и в случае параболы (3.72), деформирование на гиперболической поверхности нагружения приводит к разрыхлению материала. Для условия пластичности (3.74) получим следующие определяющие соотношения:

. (3.76)

В беспористом состоянии при r =1 условие пластичности (3.64, а) превращается в линейную зависимость (3.62):
(рис. 3.9, г). При пластическом деформировании на этой поверхности нагружения происходит разрыхление материала.

При гидростатическом давлении р > р ^* пластическое течение порошкового материала описывается уравнением (3.64), которому на плоскости s - Т соответствует эллипс (рис. 3.9, д). Экватор этого эллипса, на котором е = 0, имеет абсциссу р = 0. Так как р ^* > 0, то на этой поверхности нагружения происходит только уплотнение порошка. Определяющие соотношения для условия пластичности (3.64, б) имеют следующий вид:

. (3.77)

По мере уплотнения порошка при r ®1 образующая эллипса вырождается в прямую Т = t₀, отвечающую условию пластичности Мизеса для несжимаемого материала (см. рис. 3.9, г).

Рассмотренные поверхности нагружения являются выпуклыми, и при задании тензора напряжений s_ij им по ассоциированному закону течения соответствует единственный тензор скоростей деформаций е_ij. И, наоборот, если известны компоненты тензора скоростей деформаций е_ij, то однозначно находится тензор напряжений s_ij. Это позволяет при решении краевых задач пластического деформирования порошковых тел использовать прямые методы вариационного исчисления, в том числе и метод конечных элементов.

Двойственный механизм пластического деформирования порошковых тел обуславливает довольно сложную систему определяющих соотношений, функционально связанных как с напряженным состоянием через напряжения s ^*, так и со структурным состоянием материала через относительную плотность r_F. Вид условия пластичности и определяющих соотношений зависит от того, как соотносятся расчетные средние напряжения s и относительная плотность r с условиями-ограничениями s ^* и r_F. В шестимерном пространстве компонентов тензора напряжений s_ij рассмотренные четыре возможных варианта условия пластичности (3.64) определяют размеры, форму и положение четырех поверхностей нагружения Ф. На какую именно поверхность нагружения выйдет вектор нагрузки s_ij зависит от напряженного состояния элемента порошкового тела и пути нагружения. При этом возможен вариант, когда в течение всего процесса деформирования вектор нагружения не встретит на своем пути какую-либо одну или несколько поверхностей нагружения. Например, при деформировании сжимающими напряжениями в замкнутых объемах порошковая среда уплотняется и скорость объемной деформации е < 0. Вместе с тем при параболическом (3.72) и гиперболическом (3.74) условиях пластичности при любой величине напряжений s < s ^* скорость объемной деформации е > 0 и происходит разрыхление порошка. Уплотнению соответствуют эллиптические условия пластичности при средних напряжениях s < D для условия пластичности (3.68) и s < 0 для условия пластичности (3.64 б). СВС-прессование относится к схемам деформирования в замкнутом объеме сжимающими напряжениями и для него характерно уплотнение порошковой оболочки. Соответственно для СВС-прессования рабочими условиями пластичности являются эллиптические условия пластичности (3.68) при s < s ^* и (3.64, б) при s ³ s ^*.

Точная физическая модель пластического деформирования порошкового тела приводит к сложной реологической модели и большому набору феноменологических параметров. Особенно громоздкий вид имеют определяющие соотношения, соответствующие деформированию по механизму скольжения. Кроме того, наличие условий-ограничений в виде величины средних напряжений s ^* и структурного параметра r_F обуславливает не линейный, а итерационный алгоритм решения краевых задач с проверкой выполнения условий-ограничений и выбором соответствующих определяющих соотношений для текущего напряженного и структурного состояний порошкового тела. Для однотипных схем технологического деформирования, имеющих подобное напряженно-деформированное состояние и монотонный характер изменения плотности, вместо сложной общей модели желательно построить более простую частную модель без условий-ограничений и линейного алгоритма решения. Например, процесс уплотнения при гидростатическом сжатии достаточно хорошо описывается эллиптическим условием пластичности (3.64, б), учитывающим только механизм пластической деформации частиц (см. рис. 3.8). При деформировании порошковых материалов в замкнутых объемах с преобладанием сжимающих напряжений экспериментально определенная кривая предельного равновесия также имеет форму эллипса [154, 167, 193]. В работе [206] предложен способ построения частного эллиптического условия пластичности, которое для процесса уплотнения в замкнутом объеме интегрально учитывает оба механизма пластического деформирования порошкового материала. Искомое условие пластичности имеет вид, аналогичный условию пластичности (3.64, б). В отличие от условия пластичности (3.64, б), где вид функции a (r) задается априори, в частном условии пластичности зависимость a (r) устанавливается по экспериментальным данным. Более подробно процедура построения частного условия пластичности рассматривается в следующем подразделе.