Примеры решения задач. Задача 1.Положительные заряды q1 = 2мкКл и q2 = 10мкКл находятся в вакууме на расстоянии 1м друг от друга

Задача 1. Положительные заряды q ₁ = 2мкКл и q ₂ = 10мкКл находятся в вакууме на расстоянии 1м друг от друга. Определить работу, которую совершат силы отталкивания при удалении заряда q₂ на расстояние 10м от заряда q₁.

Расстояние от точки В до заряда q ₁ равно r ₁, потенциал поля в этой точке j₁. Расстояние от заряда q ₁ до точки С равно r ₂, потенциал поля в точке С равен j₂. Тогда работа совершаемая при перемещении заряда q ₂ из точки В в точку С равна (2.7):

A = q ₂(j₁ -j₂). (2.8)

где j₁ и j₂ в соответствии с (2.2):

. (2.9)

Подставим (2.3) в (2.2):

. (2.10)

После подстановки числовых значений получили: А = 0, 162 Дж.

Ответ: =0, 162 Дж.

Задача 2. Найти работу поля по перемещению заряда q = 10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 2.2), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверхностной плотностью s =0, 4мкКл/м² бесконечными параллельными плоскостями, расстояние между которыми равно 3см.

Рис.2.2

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда q из точки 1 с потенциалом j₁ в точку 2 с потенциалом j₂ найдем по формуле (2.7):

A = q (j₁ -j₂). (2.11)

Разность потенциалов j₁ -j₂ найдем из (2.6):

. (2.12)

Поле между двумя равномерно заряженными параллельными плоскостями однородно и его напряженность равна:

. (2.13)

Подставим (2.13) в (2.12) и после интегрирования получим (см. рис.2.2):

. (2.14)

Тогда работа будет определяться выражением:

(2.15)

2-й способ. При перемещении тела под действием силы ` F совершается работа:

. (2.16)

Сила, действующая на заряд в электрическом поле с напряженностью (2.13), будет равна:

(2.17)

Подставим (2.17) в (2.16) и проинтегрируем:

(2.18)

Оба решения приводят к одному и тому же результату. После подстановки в (2.18) числовых значений получим: А = 13, 6 мкДж.

Ответ: мкДж.

Задача 3. Найти потенциал в центре кольца, по которому равномерно распределен заряд с линейной плотностью t.

принципом суперпозиции. Разделим полукольцо на малые элементы дуги dl так, чтобы заряд dq = t dl каждого такого элемента можно было считать точечным (см. рис.2.3). Тогда потенциал поля, создаваемого зарядом dq, будет равен (2.2):

. (2.19)

Согласно принципу суперпозиции потенциал в центре полукольца определяется алгебраической суммой потенциалов d j элементарных зарядов:

Рис.2.3

Ответ:

Задача 4. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда s = 4× 10^-8Кл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, стоящих от плоскости на r ₁ = 10см и r ₂ = 20см (рис 2.4).

Дано: s = 4× 10-8Кл/м2 r 1 = 10см r 2 = 20см	0, 1м 0, 2 м	Решение. Физическую систему составляют бесконечная равномерно 0, 2м заряженная плоскость и созданное ней электрическое поле. Для определения разности потенциалов используем связь напряженности и потенциала (2.6):
(j1-j2) -?

Рис. 2.4

. (2.20)

Так как точки 1и 2 расположены на одной силовой линии cos 0 =1. Следовательно, с учетом (1.10) Е = s/2e_°, получим:

,

или после интегрирования

. (2.21

После подстановки числовых значений получим: j₁-j₂ =225 В.

Ответ: =225 В.

Задача 5. Электрон движется в плоском горизонтально расположенном конденсаторе параллельно его пластинам со скоростью υ = 4× 10⁷м/с. Разность потенциалов на пластинах конденсатора U = 4кВ, расстояние между пластинами d = 4см, длина пластин конденсатора l = 20см. На какое расстояние сместится электрон в вертикальном направлении под действием электрического поля во время его движения в конденсаторе.

Дано: υ = 4 × 107 м/с U = 4000 В d = 4× 10-2 м l = 0, 2 м	Решение. Рассмотрим движение электрона между пластинами конденсатора (см. рис.2.5). Электрон будет двигаться под действием двух сил: силы тяжести m и электрической силы` Fэл = е . Можно заметить, что ½ mg ½ < < ½ еЕ ½, т.к. mэл =9, 1× 10-31 кг, а е = -16× 10-19 Кл.
h -?

Поэтому действием силы тяжести в данном случае можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона запишем:

m = e . (2.22)

Выберем ось x так, чтобы она была параллельна пластинам конденсатора, а y – перпендикулярна (см. рис.2.5). Выражение (2.22) в проекциях на ось y будет иметь вид:

ma = | eE |(2.23)

О

Рис. 2.5

Напряженность поля внутри конденсатора связана с разностью потенциалов, как следует из (2.6), выражением:

U = Ed (2.24)

Из (2.23) и (2.24) найдем а = а_у:

.(2.25)

Так как ускорение электрона постоянное, его перемещение будет равно:

, (2.26)

или в проекциях на оси Ох и Оу соответственно:

. (2.27)

Решим уравнение (2.27) с учетом (2.25):

. (2.28)

Подставим в (2.28) числовые значения и получим:

Ответ: .

Задача 6. Два одноименных точечных заряда q ₁ и q ₂ с массами m ₁ и m ₂ движутся на встречу друг другу. Когда расстояние между ними равно r ₁, их скорости равны υ ₁ и υ ₂. До какого минимального расстояния r _min сблизятся заряды?

Следовательно:

. (2.29)

В момент, когда расстояние между зарядами стало r _min, энергия системы представляла собой только потенциальную энергию взаимодействия зарядов:

, (2.30)

т.к. W ₁= W ₂, получим, приравняв (2.29) и (2.30) и выразив r _min:

.

Ответ:

Задача 7. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R =1см, равномерно заряженным с линейной плотностью t =20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях а ₁ =0, 5см и а ₂ = 2см от поверхности цилиндра, в средней его части.

, (2.31

т.к. цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то напряженность поля в этих точках будет близка к напряженности поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной прямой нитью (1.11):

. (2.32)

Считая точки, в которых ищем потенциал, расположенными вдоль одной силовой линии из (2.31) и (2.32) получим:

. (2.33)

После интегрирования, с учетом того, что r ₁= R+a ₁ и r ₂= R+a ₂, будем иметь:

.

После подстановки числовых значений получим: j₁-j₂ = 250 В.

Ответ: = 250 В.

Задача 8. Найдите электроёмкость батареи конденсаторов, изображённой на рис.3.1.

Рис. 3.1. Рис.3.2

Дано: С 1 С 2	Решение. Рассмотрим физическую систему, состоящую из пяти конденсаторов, соединенных в батарею. Вследствие симметрии цепи потенциалы точек А и В (рис.3.1) одинаковы, т.е. напряжение на конденсаторе С2 будет равно нулю: . Значит, конденсатор С2 не
С -?

заряжен, и можно считать, что между точками А и В участок отсутствует (разрыв цепи). Эквивалентная цепь изображена на рис.3.2. В этом случае конденсаторы на участках MAN и MBN соединены последовательно, а сами участки соединены параллельно. Определим электроёмкости участков MAN и MBN, они равны между собой и определяются согласно (3.6):

.

Отсюда получим:

. (3.10)

Для параллельно соединенных участков с электроёмкостями , используя (3.5) и (3.10) получим:

Ответ: С=С ₁.

Задача 9. Пространство между обкладками конденсатора частично заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Площадь пластины равна S. Найдите электроёмкость конденсатора для случаев, показанных на рис. 3.3 а, б.

Дано: ε S L d l h	Решение.   Рис. 3.3
С -?

Физическая система состоит из конденсатора, частично заполненного диэлектриком. Рассмотрим случай, показанный на рис. 3.3-а. Данный конденсатор можно рассматривать как систему двух параллельно соединенных конденсаторов с электроемкостью С₁ и С₂ (см рис 3.4). Для параллельного соединения конденсаторов электроемкость определяется выражением (3.5)

Рис 3.4

Определим С ₁ и С ₂ в соответствии с (3.3)

, (3.11)

, (3.12)

здесь S₁ - площадь обкладок конденсатора С₁, S₂ - площадь обкладок конденсатора С₂.

По условиям задачи на рис 3.3.а площадь обкладок равна S=Lb, где b – ширина пластин, b=S/L. Найдем S ₁ и S ₂:

, (3.13)

(3.14)

Подставим (3.13) и (3.14) в (3.11) и (3.12)

(3.15)

(3.16)

В случае, показанном на рис 3.3.б, конденсатор можно рассматривать как систему двух последовательно соединенных конденсаторов (см. рис 3.5) с электроемкостями С ₃ и С ₄:

Рис 3.5

(3.17)   (3.18)

При последовательном соединении (3.6) электроемкость батареи находится из выражения:

(3.19)

Из (3.19) с учетом (3.17) и (3.18) получим:

Ответ: а) ; б) .

Задача 10. Конденсатор электроёмкостью С ₁ =3мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ =40В. После отключения от источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим конденсатором Электроёмкостью С ₂ =5мкФ. Определить энергию , израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.

Дано: С 1 = 3 мкФ C 2 = 5 мкФ U 1 = 40 B		Решение. Физическая система состоит из двух конденсаторов. Из закона сохранения энергии следует, что энергия, израсходованная на образование искры равна: , (3.34) где WН – начальная энергия физической системы, WК –

конечная энергия этой системы после образования искры.

Начальная энергия – это энергия заряженного конденсатора из (3.7):

. (3.35)

После соединения конденсаторов в батарею энергия системы будет равна:

. (3.36)

где (см. (3.5)) – электроемкость батареи, - напряжение на батарее.

С учетом (3.35), (3.36) и (3.34) получим:

(3.37)

Из закона сохранения заряда следует, что после присоединения второго конденсатора заряд остался прежним. Выразим разность потенциалов из (3.2):

. (3.38)

Подставим (3.38) в (3.37):

,

или после преобразований:

(3.39)

Подставим в (3.39) числовые значения: