Момент силы относительно оси

На твердое тело действует сила F, приложенная в точке A (рис. 1.28). Необходимо определить момент этой силы относительно оси z.

Проведем через точку A плоскость xy, перпендикулярную оси z, и разложенную силу F на составляющие – F_z, параллельную оси z и F_xy, перпендикулярную оси z.

Сила F_z направленная параллельно оси z не может повернуть тело вокруг оси z, т.е. вращать тело вокруг оси z будет только сила F_xy:

mz (F) = mz (Fxy),

mz (F) = ± Fxy ∙ h.

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, который взят относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Правило знаков. Если при взгляде с положительного конца оси сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, то момент положительный, если по ходу часовой стрелки, то момент отрицательный.

При вычислении моментов нужно помнить следующие частные случаи:

1.Если сила параллельна оси, то ее момент равен нулю, так как F_xy = 0.

2.Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент равен нулю, так как h = 0.

Вывод. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

3. Если сила перпендикулярна к оси, то m_z = 0.

Рассмотрим аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат.

Спроектируем силу F сначала на плоскость, xy перпендикулярную оси z, а затем на оси x и y (рис. 1.29).

Из теоремы Вариньона очевидно, что

m_z (F) = m_O (F_xy) = m_O (F_x) + m_O (F_y),

m_z (F) = F_y ∙ x − F_x ∙ y.

Аналогично можно записать выражения моментов относительно других осей:

m_x (F) = F_z ∙ x − F_y ∙ y,

m_y (F) = F_x ∙ x − F_z ∙ y,

m_z (F) = F_y ∙ x − F_x ∙ y.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно осей были равны нулю:

Σ F_nx = 0, Σ F_ny = 0, Σ F_nz = 0,

Σ ^m_x (F_n) = 0, Σ ^m_y (F_n) = 0, Σ ^m_z (F_n) = 0.

Для случая параллельных сил остаются три условия равновесия, т.к остальные три обращаются в тождество 0 = 0:

Σ F_nz = 0, Σ ^m_x (F_n) = 0, Σ ^m_y (F_n) = 0.