Скорость точки

Скоростью называется величина, характеризующая быстроту направления движения точки в данный момент времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит равные промежутки пути, то ее движение называется равномерным (V = const).

Скорость равномерного движения определяется по формуле

(1.14)

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные отрезки пути, то ее движение называется неравномерным. Скорость неравномерного движения определяется по зависимости

V = f (t).

При естественном способе задания движения точки скорость определяется по формуле

(1.15)

Скорость является вектором. Ее величина определяется как первая производная от расстояния по времени, а направление совпадает с касательной к траектории в данной точке.

При координатном способе задания движения точки скорость определяется через проекции на координатные оси:

, , (1.16)

(1.17)

Скорость можно разложить на составляющие и по направлению координатных осей.

От координатного способа можно перейти к естественному. Интегрируя дифференциальное уравнение dS = V ∙ dt, получаем естественное уравнение движения:

S = f t + S ₀, (1.18)

где S ₀ – постоянная интегрирования, характеризующая начальное положение точки на ее траектории, т.е. расстояние точки от начала отчета в начале движения.

П р и м е р

Д а н о: уравнение движения точки

x = 5 ∙ cos2 t, y = 5 ∙ sin 2 t.

Определить траекторию точки и закон ее движения по всей траектории, отсчитывая пройденный путь от начала положения точки (x и y, см, t, с).

Р е ш е н и е. Для определения уравнения траектории исключим из данных уравнений время t:

, .

Возведем в квадрат и сложим полученные выражения:

.

Траектория точки – это окружность радиусом R. Определим проекции скорости:

,

.

Вычислим величину полной скорости:

.

Для определения закона движения точки воспользуемся формулой

dS = V ∙ dt,

dS =10 ∙ dt.

Интегрируя полученное выражение, получим закон движения точки:

S =10 ∙ t + S ₀, S =10 ∙ t,

где S 0 = 0, так как по условию задачи пройденный путь отсчитывается от начала.