Корневые векторы

Пусть r – собственное значение линейного оператора j, действующего в линейном пространстве V/K, e –тождественный линейный оператор, т.е. e(а) = а " а Î V. Вектор с называется корневым вектором линейного оператора j, принадлежащим собственному значению r, если существует натуральное число s, для которого

(j - re) ^sс = q.(1)

Из этого условия следует, что (j - re) ^tс = qдля любого натурального числа t > s. Наименьшее натуральное число s, для которого выполнено условие (1) называется высотой корневого вектора с. Высотой нулевого вектора считаем нуль. Ненулевой собственный вектор – это корневой вектор высоты 1, т.е. корневой вектор – это обобщение понятия собственного вектора.

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, различны.

Доказательство. Пусть r₁и r₂ – два разных собственных значения линейного оператора j, с – принадлежащий им общий ненулевой корневой вектор:

(j - r₁e) ⁿc = q, (j - r₂e) ^mc = q.

Так как r₁ ¹ r₂, то многочлены (х - r₁) ⁿ и (х - r₂) ^m взаимно простые и по теореме о линейном представлении НОД существуют многочлены u (x) и v (x) из K [ x ], для которых

u (x) (х - r₁) ⁿ + v (x) (х - r₂) ^m = 1.

Отсюда

u (j) (j - r₁e) ⁿ + v (j) (j - r₂e) ^m = e Þ

Þ с = e(с) = u (j) (j - r₁e) ⁿс + v (j) (j - r₂e) ^mс = u (j)q + v (j)q = q.

Получили противоречие с тем, что с – ненулевой вектор. ■

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть r₁,..., r _m – различные собственные значения линейного оператора j; с ₁ ,..., с_m – ненулевые корневые векторы, принадлежащие этим собственным значениям; h ₁,..., h_m - их высоты соответственно.

Методом полной математической индукции по числу векторов m докажем линейную независимость векторов с ₁ ,..., с_m. При m =1утверждение верно, так как один ненулевой вектор образует линейно независимую систему. Предположим, что утверждение верно при m = k. Пусть m= k +1и l₁ с ₁ +... + l _kc_k + l _{k +1} c_{k +1}= q.Применим к обеим частям равенства линейный оператор (j - r _{k +1}e) .Получим

l₁(j - r _{k +1}e) с ₁ +... + l _k (j - r _{k +1}e) c_k = q.

По предыдущей теореме векторы

(j - r _{k +1}e) с ₁,..., (j - r _{k +1}e) с_k

ненулевые, причем они являются корневыми векторами, принадлежащими различным собственным значениямr₁,..., r _{k .}Проверим, к примеру, что первый из них принадлежит первому собственному значению.

(j - r₁e) ((j - r _{k +1}e) с ₁) = (j - r _{k +1}e) ((j - r₁e) с ₁) =

= (j - r _{k +1}e) q = q.

Заметим, что композиция отображений некоммутативна, но многочлены от одного и того же отображения перестановочны. Чем мы и воспользовались при проведении данных выкладок. По гипотезе индукции l₁ = 0,..., l _k = 0 Þ l _{k +1} c_{k +1} = q Þ l _{k +1} = q.Векторы с ₁,..., с_{k +1} линейно независимы. ■