Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Относительный базис

Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства V относительно подпространства N, если она линейно независима относительно подпространства, и любой вектор линейного пространства можно представить в виде суммы линейной комбинации этих векторов и вектора из подпространства:

.

Теорема. Векторы образуют базис линейного пространства относительно подпространства тогда и только тогда, когда их объединение с базисом подпространства есть базис линейного пространства.

Доказательство: Þ Предположим, что система векторов – базис линейного пространства V относительно подпространства – базис N/K; . Тогда ; . По предыдущей теореме векторы линейно независимы, и любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. они образуют базис V/K.

Ü Пусть – базис подпространства N линейного пространства V/K; – базис V/K; . Тогда

, где .

Векторы линейно независимы относительно подпространства по предыдущей теореме, поэтому образуют относительный базис. ■

Замечание. Теорема дает путь построения относительного базиса. Выберем базис подпространства и достроим его до базиса всего линейного пространства.

Пример. Пусть е ₁, е ₂, е ₃, е ₄ – базис линейного пространства V, а подпространство N порождено векторами f ₁ = e ₁ + e ₂ + e ₃, f ₂ = e ₁ + e ₃. Векторы f ₁, f ₂линейно независимы. Линейно независимы также векторы f ₁, f ₂, e ₁, e ₄. Это следует, например, из того, что ранг матрицы,

составленной из координат векторов равен 4. Таким образом, f ₁, f ₂, e ₁, e ₄ – базис линейного пространства, а e ₁, e ₄ – относительный базис.

Теорема. Относительную линейно независимую систему можно дополнить до относительного базиса.

Доказательство. Предположим, чтосистема векторов e ₁ ,..., e_k линейно пространства в V относительно подпространства N, f ₁ ,..., f_s - базис N. Тогда векторы е ₁,..., е_k, f ₁,..., f_s линейно независимы в V. Дополним их до базиса линейного пространства V. Отбросив от этого базиса базис подпространства, получим базис линейного пространства V относительно подпространства, включающий векторы e ₁,..., e_k. ■

Теорема. Если в линейном пространстве V/K задана строго возрастающая последовательность подпространств

{q} Ì N ₁ Ì N ₂ Ì... Ì N_t = V,

то объединение всех относительных базисов N_i относительно N_{i -1}для i от 1 до t является базисом линейного пространства V/K.

Доказательство. Применим последовательно несколько раз первую теорему этого параграфа. ■