💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Относительный базис

Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства V относительно подпространства N, если она линейно независима относительно подпространства, и любой вектор линейного пространства можно представить в виде суммы линейной комбинации этих векторов и вектора из подпространства:

.

Теорема. Векторы образуют базис линейного пространства относительно подпространства тогда и только тогда, когда их объединение с базисом подпространства есть базис линейного пространства.

Доказательство: Þ Предположим, что система векторов – базис линейного пространства V относительно подпространства – базис N/K; . Тогда ; . По предыдущей теореме векторы линейно независимы, и любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. они образуют базис V/K.

Ü Пусть – базис подпространства N линейного пространства V/K; – базис V/K; . Тогда

, где .

Векторы линейно независимы относительно подпространства по предыдущей теореме, поэтому образуют относительный базис. ■

Замечание. Теорема дает путь построения относительного базиса. Выберем базис подпространства и достроим его до базиса всего линейного пространства.

Пример. Пусть е ₁, е ₂, е ₃, е ₄ – базис линейного пространства V, а подпространство N порождено векторами f ₁ = e ₁ + e ₂ + e ₃, f ₂ = e ₁ + e ₃. Векторы f ₁, f ₂линейно независимы. Линейно независимы также векторы f ₁, f ₂, e ₁, e ₄. Это следует, например, из того, что ранг матрицы,

составленной из координат векторов равен 4. Таким образом, f ₁, f ₂, e ₁, e ₄ – базис линейного пространства, а e ₁, e ₄ – относительный базис.

Теорема. Относительную линейно независимую систему можно дополнить до относительного базиса.

Доказательство. Предположим, чтосистема векторов e ₁ ,..., e_k линейно пространства в V относительно подпространства N, f ₁ ,..., f_s - базис N. Тогда векторы е ₁,..., е_k, f ₁,..., f_s линейно независимы в V. Дополним их до базиса линейного пространства V. Отбросив от этого базиса базис подпространства, получим базис линейного пространства V относительно подпространства, включающий векторы e ₁,..., e_k. ■

Теорема. Если в линейном пространстве V/K задана строго возрастающая последовательность подпространств

{q} Ì N ₁ Ì N ₂ Ì... Ì N_t = V,

то объединение всех относительных базисов N_i относительно N_{i -1}для i от 1 до t является базисом линейного пространства V/K.

Доказательство. Применим последовательно несколько раз первую теорему этого параграфа. ■