![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Приведение квадратичных форм к каноническому виду
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей. Это симметрическое преобразование можно записать в виде: y1 = a11x1 + a12x2 y2 = a12x1 + a22x2 где у1 и у2 – координаты вектора в базисе. Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение. Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду. Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид: . При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и. Тогда:
Тогда. Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных. Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму Ф(х1, х2) = 27.
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3. Составим характеристическое уравнение:; (27 - l)(3 - l) – 25 = 0 l2 - 30l + 56 = 0 l1 = 2; l2 = 28;
Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка: 17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А = Составим характеристическое уравнение: (17 - l)(8 - l) - 36 = 0 136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0 l2 - 25l + 100 = 0 l1 = 5, l2 = 20. Итого: - каноническое уравнение эллипса.
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы: при Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6. Найдем координаты собственных векторов: полагая m1 = 1, получим n1 = полагая m2 = 1, получим n2 = Собственные векторы: Находим координаты единичных векторов нового базиса. Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат: Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы: при Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11. Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:— Разгрузит мастера, специалиста или компанию; — Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой; — Разошлет оповещения о новых услугах или акциях; — Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет; — Позволит записываться на групповые и персональные посещения; — Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам; — Включает в себя сервис чаевых. Для новых пользователей первый месяц бесплатно. Зарегистрироваться в сервисе Найдем координаты собственных векторов: полагая m1 = 1, получим n1 = полагая m2 = 1, получим n2 = Собственные векторы: Находим координаты единичных векторов нового базиса. Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат: Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:
Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график. 4ху + 3у2 + 16 = 0
Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3. Характеристическое уравнение: Корни: l1 = -1, l2 = 4. Для l1 = -1 Для l2 = 4
m1 = 1; n1 = -0, 5; m2 = 1; n2 = 2;
= (1; -0, 5) = (1; 2)
Получаем: -каноническое уравнение гиперболы. Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой. Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δ i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ i чередуются, причём Δ 1 < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv, v) = − 2 для v = (0, 1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.
|