Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Приведение квадратичных форм к каноническому виду






    Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей.

    Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

    y1 = a11x1 + a12x2

    y2 = a12x1 + a22x2

    где у1 и у2 – координаты вектора в базисе.

    Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

    Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

     

    Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение.

    Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

    Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

    .

    При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и. Тогда:

     

    Тогда.

    Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

    Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

     

    Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

    Ф(х1, х2) = 27.

     

    Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

    Составим характеристическое уравнение:;

    (27 - l)(3 - l) – 25 = 0

    l2 - 30l + 56 = 0

    l1 = 2; l2 = 28;

     

     

    Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

    17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.

     

    Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8. А =

    Составим характеристическое уравнение:

    (17 - l)(8 - l) - 36 = 0

    136 - 8l - 17l + l2 – 36 = 0

    l2 - 25l + 100 = 0

    l1 = 5, l2 = 20.

    Итого: - каноническое уравнение эллипса.

     

    Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

    Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы: при

    Решив это уравнение, получим l1 = 2, l2 = 6.

    Найдем координаты собственных векторов:

    полагая m1 = 1, получим n1 =

    полагая m2 = 1, получим n2 =

    Собственные векторы:

    Находим координаты единичных векторов нового базиса.

    Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

    Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

     

    Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

    Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы: при

    Решив это уравнение, получим l1 = 1, l2 = 11.

    Найдем координаты собственных векторов:

    полагая m1 = 1, получим n1 =

    полагая m2 = 1, получим n2 =

    Собственные векторы:

    Находим координаты единичных векторов нового базиса.

    Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

    Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

     

    Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

    4ху + 3у2 + 16 = 0

     

    Коэффициенты: a11 = 0; a12 = 2; a22 = 3.

    Характеристическое уравнение:

    Корни: l1 = -1, l2 = 4.

    Для l1 = -1 Для l2 = 4

     

     

    m1 = 1; n1 = -0, 5; m2 = 1; n2 = 2;

     

    = (1; -0, 5) = (1; 2)

     

     

    Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.

    Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

    Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

    Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δ i положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δ i чередуются, причём Δ 1 < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида

    Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

    не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv, v) = − 2 для v = (0, 1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.

    Содержание [убрать]
    • 1 Доказательство
      • 1.1 Критерий положительной определённости квадратичной формы
      • 1.2 Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
    • 2 См. также
    • 3 Источники





    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.