Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Матричная форма записи квадратичной формы






    §

    В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание ключевых понятий ТЕОРИИ МАТРИЦ и ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

    Задача. Установить правило формирования коэффициентов канонического вида квадратичной формы, получающегося применением метода Лагранжа.

    Прежде всего, соберем все переменные в один вектор, а вернее — в два вектора:

    столбец переменных и строку переменных

    здесь означает транспонирование. Не очень принципиально, что обозначать через — столбец или строку; и хотя сокращение кажется не вполне корректным с точки зрения только что введенного обозначения, тем не менее не будем навешивать в правую часть дополнительных значков…

    Если определить верхнетреугольную матрицу равенством:

    то квадратичную форму можно записать в виде произведения трех матриц

    строка переменных матрица столбец переменных

    Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы , подбирая разные матрицы

    П

    Пример.

    Из всего этого бесконечного множества представлений выделим одно. Рассмотрим матрицу

    которая, очевидно, симметрична: . Тогда

    Это представление называют правильной записью квадратичной формы; матрицу называют матрицей квадратичной формы , а дискриминантом квадратичной формы:

    П

    Пример. Для приведенной выше квадратичной формы ее правильной записью будет именно последняя:

    Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.

     

    П

    Пример. Для имеем:

    последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…

    §

    Причина, по которой из бесконечного многообразия матричных представлений квадратичной формы выделяется именно то, что использует симметричную матрицу, остается пока непонятной. Отложив ненадолго обсуждение этой причины, попробуем переписать в матричных терминах приведение квадратичной формы к каноническому виду.

    Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, т.е. переход от переменных к новым переменным . Ограничимся только линейными заменами вида

    Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты. С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных

    которая позволяет переписать саму замену переменных в матричном виде

    Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке

    (здесь использовались некоторые свойства операции транспонирования) и, если обозначить матрицу

    то мы получаем правило формирования матрицы квадратичной формы, получившейся в результате замены переменных, с помощью операции произведения матриц. Обратим внимание на еще один факт — матрица является симметричной:

    т.е. выбор в качестве матричной записи квадратичной формы именно того варианта, что основан на симметричной матрице, позволяет сохранить это свойство при любой линейной замене переменных.

    Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу , чтобы матрица оказалась диагональной:

    при этом дополнительным условием ставится невырожденность матрицы :

    §

    Пока не вполне понятна существенность последнего условия: почему оно накладывается? С одной стороны, оно обеспечивает обратимость замены переменных — не происходит «потери информации». В самом деле, наличие какого-то ограничения на все возможные замены переменных, довольно очевидно: если бы разрешалось использовать, например, нулевую матрицу , то канонический вид у любой квадратичной формы был бы нулевым… Ниже мы обсудим геометрический смысл условия .

    Вернемся к примерам предыдущего пункта, перепишем их на матричном языке.

    П

    Пример. Для формы

    замена переменных осуществляется формулами

    т.е. матрица замены переменных

    имеет верхнетреугольный вид. Канонический вид в новых переменных записывается

    Для формы

    замена переменных уже не имеет треугольного вида:

    Для формы

    получили:

    т.е. замена переменных не имеет треугольного вида. ♦

    Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.