Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Лагранжа и метод Гаусса
|
|
§
В этом и последующих пунктах существенно потребуется знание МЕТОДА ГАУССА преобразования систем линейных уравнений.
П
Пример. Рассмотрим матрицу квадратичной формы
из предыдущих пунктов, и, временно выходя из круга поставленных в настоящем разделе задач, побробуем применить к ней метод Гаусса приведения к треугольному виду:
Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные элементы. Возникает подозрение 
, что метод Лагранжа является «замаскированной» версией метода Гаусса. ♦
Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пусть исходная квадратичная форма записана в виде
т.е. коэффициенты при смешанных произведениях переменных записаны с выделением множителя 
. После выделения полного квадрата, содержащего переменные 
:
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
в правой части тождества образовалась квадратичная форма 
, не содержащая 
. Она равна
Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы (она имеет порядок 
), то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы 
в результате первого шага метода Гаусса.
Т
Теорема. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы 
к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы к треугольному виду.
Доказательство. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных Гаусса преобразует матрицу 
следующим образом:
здесь
и предполагается, что 
. Видим, что формула формирования элементов матрицы
точно такая же, как и матрицы квадратичной формы . Более того, поскольку матрица симметрична (
), то и только что полученная матрица оказывается симметричной. Если 
, то к этой новой матрице можно снова применить ту же процедуру, и т.д., и в конце концов придем к матрице первого порядка. Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном виде
при условии, что ни одно из чисел на диагонали не обратилось в нуль:
Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет замену переменных
приводящую квадратичную форму к каноническому виду:
|
|