Практическое занятие № 8

Задача 1 Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

Решение.

1. Составим характеристическое уравнение данного оператора

.

,

,

,

,

,

.

Найдем корни уравнения.

Получаем: или .

Найдем корни второго уравнения.

, .

,

Таким образом, собственные значения равны , , .

2. Найдем собственные векторы.

При :

Первый собственный вектор имеет вид . Пусть , тогда .

При :

.

Второй собственный вектор имеет вид . Пусть , тогда .

При :

Третий собственный вектор имеет вид . Пусть , тогда .

Ответ. При ; при ; при

Задача 2 Привести алгебраическое уравнение второй степени к каноническому виду и определить тип кривой, определяемой данным уравнением .

Решение.

Запишем данное уравнение в матричном виде

.

1) Для того чтобы найти матрицу ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму к каноническому виду, сначала составим характеристическое уравнение

det .

Для решения этой части задачи требуется владение методами решений уравнений различных степеней вида .

Решая уравнение, мы получим два действительных корня .

Далее для каждого собственного значения находим собственные векторы, решая однородные системы линейных уравнений.

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

Для каждой системы будем находить фундаментальную систему решений.

а)

Первый собственный вектор с координатами . При первый собственный вектор имеет координаты . Нормируем данный вектор и получим первый нормированный собственный вектор .

б)

Второй собственный вектор имеет координаты . Аналогично, получим второй нормированный собственный вектор .

в) Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду имеет вид . Базисные векторы новой системы координат . ; .

Так как det S=1, то оператор поворота двумерного линейного пространства вокруг начало координат на угол такой, что , . Замечание. Если бы мы получили матрицу такую, что det S=-1, то достаточно было бы поменять местами два собственных вектора.

Получим уравнение в новой системе координат , применяя формулы перехода: , ,

,

,

пусть , , тогда . Уравнение определяет

гиперболу, полученную параллельным переносом системы координат в точку . Изобразим кривую .

Рисунок 125

Задача 3 Выяснить знакоопределенность квадратичной формы и найти ортогональную матрицу, приводящую квадратичную форму к каноническому виду.

Решение.

Запишем данное уравнение в матричном виде .

Для того чтобы найти матрицу ортогонального преобразования, сначала составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения, используя различные методы решения уравнений третьей степени.

, .

Получены собственные значения: с кратностью 2 и с кратностью 1.

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.

Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Зарегистрироваться в сервисе

Диагональная матрица имеет вид или .

Далее для каждого собственного значения находим собственные векторы, решая однородные системы линейных уравнений. Для каждой системы будем находить фундаментальную систему решений.

а) ,

Решаем систему линейных уравнений матричным методом:

, пусть , . Первый собственный вектор: . Пусть , , тогда .

б)

Рассуждая аналогично, получаем второй собственный вектор со значениями , , . Векторы и не ортогональны.

Ортогонализируя и методом Грамма-Шмидта, получим два ортогональных вектора и . Теперь необходимо нормировать эти векторы (разделить каждую координату вектора на ее длину) , .

в) Для собственного значения собственный вектор: .

Запишем матрицу ортогонального преобразования .

С помощью матрицы от старого базиса выполняется переход к новому базису :

, , .

Задача 4 Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка: .

Решение.

Составим характеристическое уравнение , или . Корни этого уравнения: , , .

Каноническое уравнение поверхности можем написать сразу: или .

Данная поверхность является однополостным гиперболоидом вращения с полуосями , , . Найдем теперь главные направления данной поверхности и формулы преобразования координат, приводящие данное уравнение к каноническому виду. Так как характеристическое уравнение имеет двукратный корень, то нужно действовать согласно указаниям. Составим применительно к нашей задаче систему уравнений:

Подставим сюда двукратный корень характеристического уравнения , мы получим

Система свелась к одному существенному уравнению:

(*)

(два других ему пропорциональны). Беря, например, решение , , уравнения (*), получим вектор , который определяет одно из бесчисленного множества главных направлений, соответствующих числу .

С другой стороны, вектор , определенный коэффициентами уравнения (*), дает третье главное направление (отвечающее числу ). Умножая векторно на , получим вектор , который также дает главное направление, отвечающее числу (но отличное от ранее найденного и перпендикулярное к нему). Вместо последнего вектора удобнее взять . Нормируя найденные векторы и располагая их в надлежащем порядке, получим , ,

.

Отсюда имеем формулы искомого преобразования координат

, , .

Задача 5 Квадратичная форма от трех переменных с матрицей

положительно определена, так как

Задача 6 Квадратичная форма от трех переменных с матрицей

является знакопеременной, так как

Задача 7 Квадратичная форма от двух переменных

является знакопеременной, так как

Задача 8 Дана квадратичная форма

1) Привести ее к каноническому виду методом Лагранжа, записав соответствующее преобразование переменных.

2) Привести ее к каноническому виду ортогональным преобразованием.

3) Проиллюстрировать закон инерции квадратичной формы на примерах преобразований, разобранных в п. 1) и 2).

Решение.

1) Коэффициент при равен 3, т. е. отличен от нуля. Выделим в квадратичной форме члены, содержащие : . Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими , и сразу вычтем добавленные члены. Тогда получим

Введем обозначение исходя из принципа: в квадратичной форме пропадает, в квадратичной появляется. Приведя подобные члены, перепишем квадратичную форму:

К квадратичной форме снова применим метод выделения полного квадрата. Выделим все члены, содержащие : .

Дополним это выражение до полного квадрата членами, не содержащими , т. е. приведем его к виду . Обозначим через . Приведя подобные члены, перепишем исходную квадратичную форму: .

Выделять снова полный квадрат уже не надо, так как имеется только квадрат переменной . Поэтому, введя обозначение , получаем следующий канонический вид квадратичной формы: , где

Запишем преобразование переменных в матричной форме:

Замечание 1. В результате применения метода Лагранжа всегда получается невырожденное линейное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Замечание 2. Если в записи квадратичной формы отсутствует переменная , т. е. то, записывая преобразование переменных, надо положить

2) Запишем матрицу квадратичной формы:

В некотором евклидовом пространстве с ортонормированным базисом рассмотрим симметричный оператор , для которого Построим для него ортонормированный собственный базис

Так как то характеристическое уравнение запишется в виде Оно имеет решения Таким образом, получаем канонический вид квадратичной формы:

Построим теперь ортонормированный базис Возьмем

Тогда

Поэтому координаты собственных векторов, соответствующих собственному значению должны удовлетворять системе линейных уравнений

у которой Следовательно ФСР этой системы состоит из одного решения, т. е. имеет, например, вид

Если то т. е. координаты собственных векторов, соответствующих собственному значению 4, удовлетворяют системе линейных уравнений у которой Поэтому, данная система эквивалентна уравнению Значит, ФСР данной системы состоит из двух решений. Найдем их. Полагая сначала из последнего уравнения получим полагая затем из того же уравнения имеем Таким образом, ФСР состоит из решений

Отметим, что – столбцы из координат собственных векторов , которые образуют базис в . При этом ортогонален и , так как - собственный вектор, соответствующий собственному значению отличному от Следовательно, чтобы построить ортогональный базис из собственных векторов линейного оператора , надо ортогонализировать систему , .

Для этого положим где Отсюда получим,

Теперь собственные векторы линейного оператора взаимно ортогональны. Нормируя эти векторы, получим ортонормированный базис

Итак, ортогональное преобразование

Приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду:

3 ) В пунктах 1) и 2) одна и та же квадратичная форма двумя различными невырожденными преобразованиями приведена к двум различным каноническим видам. В каждом из них число положительных канонических коэффициентов равно 2, число отрицательных канонических коэффициентов равно 1.