Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Практическое занятие № 7






    Задача 1 Является ли линейным оператор , переводящий вектор в вектор , заданный координатами в том же базисе что и . В случае линейности преобразования найти матрицу преобразования в том же базисе что и .

    а) ; б) ; в) .

     

    Решение.

    Оператор называется линейным оператором, если выполняются два условия: 1) , если - любой вектор пространства, - любое число;

    2) , где и - любые два вектора пространства .

     

    а) . Проверим выполнимость двух условий:

    1) ,

    , следовательно, первое условие выполнено.

    2) .

    .

    Второе условие также выполняется. Таким образом, линейный оператор , переводящий вектор в вектор с координатами является линейным. Следовательно, матрица данного линейного оператора имеет вид:

    б)

    Проверим выполнимость двух условий:

    1) , , следовательно, первое условие выполняется.

    2) ,

    ,

    .

    Второе условие не выполняется и данный оператор не является линейным.

     

    в)

    Проверим выполнимость двух условий:

    1) ,

    .

    Первое условие не выполняется и оператор не является линейным.

     

    Задача 2 Рассмотрим отображение которое каждый вектор преобразует в его векторное произведение на орт оси В силу свойств векторного произведения это отображение – линейный оператор. Найдем матрицу этого линейного оператора в (правом) ортонормированном базисе

     

    Решение.

    Найдем образы базисных векторов и разложим их по тому же базису. Так как то первый столбец в матрице нулевой.

    Второй столбец в матрице : .

    Третий столбец в матрице : .

    Итак, матрица имеет вид:

     

     

     

    Задача 3 Матрица

    определяет линейное преобразование

    В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) по оси

     

    Задача 4 Матрица

    определяет линейное преобразование

    В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) на плоскость

     

    Задача 5 Пусть есть вращение на угол .

     

    Решение.

    Возьмем специальный базис , (состоящий из единичных и взаимно перпендикулярных векторов). Тогда, если , то , , где , - полярные координаты конца вектора . Так как вектор получается поворотом вокруг точки на угол , то , . Отсюда

    ,

    ;

    раскрывая скобки в правых частях этих равенств и полагая , , найдем

    ,

    .

    Это и есть координатное представление вращения в базисе , .

    Матрица вращения имеет вид .

    Задача 6 Пусть - вращение на угол , - вращение на угол . Очевидно, есть вращение на угол ; в данном случае .

     

    Решение.

    Возьмем специальный базис , ; тогда данные преобразования будут иметь соответственно матрицы

    , .

    Применяя правило умножения матриц, получим

    .

    Отсюда

    .

    Этот результат можно было заранее предвидеть, так как есть матрица вращения на угол . В данном случае матрицы и совпадают.

     

    Задача 7 Пусть есть сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом , - сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом . Матрицы этих преобразований соответственно будут

    , ; умножая и , получим . Матрица такого вида называется диагональной. Таким образом, диагональная матрица отвечает произведению двух сжатий к координатным осям.

     

    Задача 8 Построить ортонормированную систему векторов по линейно независимой системе , , . Координаты векторов заданы в естественном базисе.

     

    Решение.

    Проверим систему векторов на линейную независимость. Вектора линейно независимые, если их линейная комбинация при коэффициентах Подставим значения в данное равенство, получим:

    линейно независимы.

    1) Построим вспомогательную систему - попарно ортогональные векторы:

    а) ;

    б) , где .

    ;

    в) , где и .

    .

     

    2) Построим ортонормированную систему:

    ; ; .

     

    Ответ. , ,






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.