Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Практическое занятие № 7
Задача 1 Является ли линейным оператор , переводящий вектор в вектор , заданный координатами в том же базисе что и . В случае линейности преобразования найти матрицу преобразования в том же базисе что и . а) ; б) ; в) .
Решение. Оператор называется линейным оператором, если выполняются два условия: 1) , если - любой вектор пространства, - любое число; 2) , где и - любые два вектора пространства .
а) . Проверим выполнимость двух условий: 1) , , следовательно, первое условие выполнено. 2) . . Второе условие также выполняется. Таким образом, линейный оператор , переводящий вектор в вектор с координатами является линейным. Следовательно, матрица данного линейного оператора имеет вид: б) Проверим выполнимость двух условий: 1) , , следовательно, первое условие выполняется. 2) , , . Второе условие не выполняется и данный оператор не является линейным.
в) Проверим выполнимость двух условий: 1) , . Первое условие не выполняется и оператор не является линейным.
Задача 2 Рассмотрим отображение которое каждый вектор преобразует в его векторное произведение на орт оси В силу свойств векторного произведения это отображение – линейный оператор. Найдем матрицу этого линейного оператора в (правом) ортонормированном базисе
Решение. Найдем образы базисных векторов и разложим их по тому же базису. Так как то первый столбец в матрице нулевой. Второй столбец в матрице : . Третий столбец в матрице : . Итак, матрица имеет вид:
Задача 3 Матрица определяет линейное преобразование В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) по оси
Задача 4 Матрица определяет линейное преобразование В прямоугольной системе координат оно соответствует нахождению для произвольного вектора его составляющей (т.е. ортогональной проекции) на плоскость
Задача 5 Пусть есть вращение на угол .
Решение. Возьмем специальный базис , (состоящий из единичных и взаимно перпендикулярных векторов). Тогда, если , то , , где , - полярные координаты конца вектора . Так как вектор получается поворотом вокруг точки на угол , то , . Отсюда , ; раскрывая скобки в правых частях этих равенств и полагая , , найдем , . Это и есть координатное представление вращения в базисе , . Матрица вращения имеет вид . Задача 6 Пусть - вращение на угол , - вращение на угол . Очевидно, есть вращение на угол ; в данном случае .
Решение. Возьмем специальный базис , ; тогда данные преобразования будут иметь соответственно матрицы , . Применяя правило умножения матриц, получим . Отсюда . Этот результат можно было заранее предвидеть, так как есть матрица вращения на угол . В данном случае матрицы и совпадают.
Задача 7 Пусть есть сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом , - сжатие к оси (т.е. в направлении оси ) с коэффициентом . Матрицы этих преобразований соответственно будут , ; умножая и , получим . Матрица такого вида называется диагональной. Таким образом, диагональная матрица отвечает произведению двух сжатий к координатным осям.
Задача 8 Построить ортонормированную систему векторов по линейно независимой системе , , . Координаты векторов заданы в естественном базисе.
Решение. Проверим систему векторов на линейную независимость. Вектора линейно независимые, если их линейная комбинация при коэффициентах Подставим значения в данное равенство, получим: линейно независимы. 1) Построим вспомогательную систему - попарно ортогональные векторы: а) ; б) , где . ; в) , где и . .
2) Построим ортонормированную систему: ; ; .
Ответ. , ,
|