Задача 2. Привести к каноническому виду уравнение кривой, нарисовать кривую , и найти координаты центра в первоначальной системе координат.

Привести к каноническому виду уравнение кривой, нарисовать кривую , и найти координаты центра в первоначальной системе координат.

Решение.

Дано уравнение кривой в общем виде .

Выведем формулы преобразования. Начнем с поворота осей. Целью этого преобразования, является уничтожение в преобразованном уравнении члена, содержащего произведение текущих координат.

Формулы преобразования координат поворотом осей без изменения начала координат имеют вид

Подставляя эти значения и в заданное уравнение, будем иметь

.

Раскроем скобки и получим

Сделаем приведение подобных членов:

. (58)

Выберем теперь угол поворота так, чтобы коэффициент при обратился в нуль. Приравнивая этот коэффициент нулю, получаем уравнение для определения значения угла , при котором этот коэффициент обратится в нуль:

.

Разделим обе части этого уравнения на (, так как если , то , и тогда это уравнение не имеет места, ибо получается, что . Это замечание следует помнить и при решении последующих задач). После деления получим

,

.

Решая квадратное уравнение получим два значения и .

Теперь перейдем к нашему примеру, учитывая , , :

. Отсюда получаем для тангенса угла поворота координатных осей такие значения: или и .

Эти два значения соответствуют двум взаимно-перпендикулярным направлениям, так как произведение этих тангенсов равно . Из следует, что угол поворота может находиться в первой или третьей четвертях, а из следует, что угол поворота может находиться во второй или четвертой четвертях. Условимся всегда брать для из двух возможных значений – положительное, а угол поворота - в первой четверти . Таким образом, из двух возможных значений тангенса берем . Определим по известному величину и . Это нам нужно для того, чтобы определить коэффициенты при , , и в уравнении (58).

Так как у нас , а угол находится в первой четверти, то по известному функции и могут быть определены следующим образом: , . Из этого следует, что , , , , . При найденных значениях и коэффициент при равен 9, коэффициент при - нулю, коэффициент при равен 4, коэффициент при равен , а коэффициент при равен .

Подставляя эти значения в уравнение (1), получим .

Выделяя в скобках полные квадраты, имеем

, откуда ,

или . (59)

Введем обозначения: ; ;

из сравнения с формулами заключаем, что , , а уравнение (59) перепишем так: .

После деления обеих частей равенства на 36 получим Рисунок 95 данное уравнение в каноническом виде: .

Итак, данное уравнение определяет эллипс. Он вытянут вдоль оси .

Домашнее задание № 5^/

1 Привести уравнение кривой к каноническому виду и нарисовать кривую: .

Ответ. Кривая – гипербола, ее каноническое уравнение

2 Привести уравнение кривой к каноническому виду .

Ответ. Кривая – парабола, ее каноническое уравнение

3 Привести уравнение кривой к каноническому виду .

Ответ. Кривая – эллипс, его каноническое уравнение

4 Построить кривую и найти ее уравнение в прямоугольных координатах при условии, что начало прямоугольных координат совпадает с полюсом полярной системы координат, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью.

Ответ. - трехлепестковая роза

5 Построить спираль Архимеда .

6 Построить кардиоиду .

7 Построить гиперболическую спираль .

* Полярный угол измеряется в радианах.