Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Уравнения прямой в пространстве. Способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Задача 1 Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через а) точку , параллельной вектору ; б) точку , параллельной прямой ; в) точку , параллельной оси ; г) точки и ; д) точку , параллельной прямой являющейся пересечением двух плоскостей Решение. а) Канонические уравнения прямой , проходящей через данную точку параллельно вектору , имеют вид . По условию задачи точка лежащая на прямой задана координатами и направляющий вектор имеет координаты , тогда составим уравнения прямой Рисунок 51
б) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной прямой . Так как прямые, по условию задачи, и параллельны, то направляющие вектора их коллинеарны. Тогда направляющим вектором для прямой может быть вектор . Используя предыдущую формулу , составим уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором будет иметь вид Рисунок 52 . в) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной оси . Для каждого случая составим канонические уравнения проходящие через точку с направляющими векторами , , . . Перейдем от канонического уравнения к параметрическому уравнению.
г) уравнение прямой, проходящей через две различные точки и задано формулой: . Точки лежащие на прямой имеют координаты и , подставляя в формулу получим уравнения: , . д) уравнение прямой, проходящей через точку , параллельной прямой являющейся пересечением двух плоскостей Составим каноническое уравнения прямой по формуле и проходящей через точку с координатами . По условию задачи прямая задается пересечением двух плоскостей: Нормальные вектора двух плоскостей будут перпендикулярны этой прямой , следовательно, перпендикулярны и направляющему вектору этой прямой . Тогда уравнение прямой, Рисунок 53 проходящей через точку с направляющим вектором : .
Задача 2 Найти угол между двумя прямыми и : а) , ; б) , , , , , ; в)
Решение. В пространстве угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. а) , . Выпишем направляющие вектора двух прямых и : , . Используя данную формулу найдем угол между двумя прямыми и : .
б) прямыми и заданы в параметрическом виде, выпишем направляющие вектора двух прямых и : ; . По предыдущей формуле найдем угол: .
в)
Для данных прямых, которые заданы пересечением двух плоскостей найдем направляющие вектора: : . : , . . Задача 3 Установить взаимное расположение прямых и : а) и б) и .
Решение. а) Выпишем направляющие векторы первой и второй прямых: , . Как видно, координаты этих векторов пропорциональны: . Следовательно, данные прямые параллельные или совпадают. Возьмем на первой прямой какую-нибудь точку, например точку . Подставим ее координаты в уравнение второй прямой: Получаем - из первого уравнения, - из второго, - из третьего. Это означает, что точка не принадлежит второй прямой; прямые не совпадают, значит они параллельны.
б) и . Координаты направляющих векторов и данных прямых не пропорциональны. Следовательно, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Проверим выполнение условия (34) принадлежности двух прямых одной плоскости, предварительно выписав координаты точек и , через которые проходят данные прямые: , . Имеем . Следовательно, данные прямые – скрещивающиеся.
Задача 4 Уравнение прямой преобразовать к каноническому виду.
Решение. Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор . Выберем точку на прямой следующим образом: положим, например, ; тогда для определения абсциссы и ординаты у этой точки решим следующую систему уравнений из которой находим , . Итак, на прямой известна точка . Направляющий вектор прямой находим по формуле: , т.е. . Тогда, согласно формуле , или – искомое уравнение прямой. Задача 5 Составить параметрические уравнения прямой перпендикулярной плоскости и проходящей через точку . Решение. Вектор перпендикулярен плоскости . Следовательно, в качестве вектора можно взять вектор , т.е. . Тогда параметрическое уравнения прямой, перпендикулярной плоскости , примет вид Ответ.
|