Кодирование целых чисел

Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Ди­а­пазон значений зависит от размера области памяти, используемой для раз­ме­ще­ния чисел. В k-разрядной ячейке может храниться 2^k различных значе­ний целых чисел.

Целые числа могут занимать 1, 2, 4 или 8 байт (для 64-разрядных ма­шин).

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного чис­ла N, хранящегося в k-разрядном машинном слове, необходимо:

1. перевести число N в двоичную систему счисления;

2. полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Код целого числа может рассматриваться как двоичное число со знаком или без знака.

При беззнаковом представлении все разряды используются для за­писи значения числа.

Пример:

Число 107 = 1101011₂ будет записано:

в 1 байт как 01101011

в 2 байта как 00000000 01101011

1-й байт 0-й байт

в 4 байта как 00000000 00000000 00000000 01101011

3-й байт 2-й байт 1-й байт 0-й байт

Минимальное беззнаковое число равно 0. Максимальное беззнаковое число равно 2ⁿ – 1, где n – кол-во двоичных разрядов, используемых для за­писи числа.

Например для 2-хбайтового представления max =11111111 11111111₂ =
1 00000000 00000000 – 1 = 2¹⁶ – 1 = 65 535

Для записи чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа. Если число неотрицательное, то в знаковый разряд записывается 0, в противном случае – 1, т.е. единица в знаковом разряде означает знак “ми­нус”.

Целые числа со знаком могут быть записаны в прямом, обратном и до­пол­­нительном коде.

В прямом коде число хранится в виде: знак+абсолютное значение (мо­дуль) числа.

В обратном коде в значении числа нули заменяют на единицы, а едини­цы на нули.

Дополнительный код получают путем прибавления 1 к обратному.

Обратный и дополнительный код неотрицательных чисел совпадает с прямым.

Обратный и дополнительный коды чисел позволяют заменить операцию вычитания сложением с отрицательным числом, что существенно упрощает устройство процессора. Варианты арифметических операций будут рас­смот­рены ниже.

Пример. Рассмотрим внутреннее представление целого отрицательного числа: -6 = 110₂.

Однобайтовое:

Прямой код: 1000 0110

Обратный код: 1111 1001

Дополнительный: 1111 1001

⁺ 1

1111 1010

Четырехбайтовое:

Прямой код: 10000000 00000000 00000000 00000110

Обратный код: 1111111 1111111 11111111 11111001

Дополнительный: 1111111 1111111 11111111 11111001

⁺ 1

1111111 1111111 11111111 11111010

Для того, чтобы получить значение отрицательного числа, записанного в дополнительном коде, можно использовать один из двух алгоритмов:

1) вычесть 1 из дополнительного кода (получаем обратный код) и заме­нить все нули на единицы, а единицы на нули;

2) сначала заменить все нули на единицы, единицы на нули, затем при­ба­вить единицу к результату.

Пример: возьмем однобайтовый доп. код: 1111 1010 и используем второй алгоритм: 1111 1010 -- > - (0000 0101 + 1) = - 110₂ = -6.