💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Собственные колебания распределённых систем конечной длины

При исследовании колебательных процессов в распределённых системах конечной длины обычно используется метод Бернулли, т. е. решение разлагается по собственным функциям краевой задачи. Вид собственных функций существенно зависит от граничных условий, связывающих ток и напряжение или силу и смещение на границах системы.

Остановимся лишь на простейших случаях граничных условий, которые, однако, часто встречаются на практике.

Короткозамкнутому или разомкнутому концу соответствуют граничные условия вида

,   ,

(9.10)

где y - ток (для разомкнутой линии) или напряжение (для замкнутой линии).

Более общий случай граничных условий осуществляется в электрической линии, нагруженной на конце ёмкостью C ₀. Для напряжения на этой ёмкости и заряда справедливо следующее

.

Подставляя это соотношение в телеграфное уравнение (9.1), для линии без потерь получим:

.

Для конденсатора, включенного вначале линии в сечении x = 0, получаем

.

Если на конце линии включена индуктивность L ₀, то граничные условия запишутся так:

,   .

Объединяя рассмотренные выше типы граничных условий, получим общий вид граничных условий такого рода

,   .

(9.11)

Волновое уравнение (9.2) с граничными условиями вида (9.10) или (9.11) удобно решать методом разделения переменных (метод Бернулли). Положим y (x, t) = j (x) T (t), тогда общее решение имеет вид

.

(9.12)

Постоянные A_s и B_s определяются из начальных условий. Из решения (9.12) следует, что распределённые колебательные системы конечной длины имеют бесконечное множество собственных частот w_s, каждой из которых соответствует определённая форма колебаний j_s.

Для двухпроводной линии, подставляя разложение (9.12) в волновое уравнение (9.2), получим:

.

(9.13)

Общее решение уравнения (9.13) имеет вид

.

Если линия короткозамкнута на конце, то граничные условия вида (9.10) дают B = 0, w_sl / v = ps, т. е.

.

(9.14)

w_s = psv / l, s = 1, 2, … - набор эквидистантных собственных частот, j_s (x) - собственные функции. Легко показать, что собственные функции, отвечающие различным собственным частотам, ортогональны:

,   s ¹ q.

(9.15)

Отметим, что ортогональность собственных (нормальных) колебаний - общее свойство распределенных систем и систем с многими степенями свободы.

Если система с распределёнными параметрами неоднородна, например, в середину длинной линии включен конденсатор, то эквидистантность собствен­ных частот нарушается, и собственные функции уже не синусоидальные, но их ортогональность (9.15) сохраняется. Пример такой системы - лазер. Активная среда, внесённая в резонатор Фабри-Перо (систему с распределёнными пара­метрами), нарушает эквидистантность собственных частот резонатора. Поэтому генерируемые моды становятся не синхронизируемыми.