Телеграфные уравнения, волновое уравнение

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

линии dx (рис. 79) можно ввести понятия потенциала, тока, распределенных ёмкостей и индуктивностей. Если система не излучает и не взаимодействует с другими проводниками, то в каждом сечении линии токи в обоих проводниках равны по величине и противоположны по направлению: i ₁(x, t) = - i ₂(x, t) = i (x, t).

Рассмотрим бесконечно малый элемент dx длины линии, обладающей индуктивностью L и ёмкостью C на единицу длины линии. Для участка dx линии можно записать уравнения Кирхгофа:

откуда легко получаются телеграфные уравнения:

Из уравнений (9.1) легко получаются и волновые уравнения для тока и напряжения:

Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределённую электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую индуктивность и ёмкость, то в пределе система уравнений для цепочки (8.32) перейдёт в волновое уравнение (9.2). Координата x соответствует изменяющемуся номеру ячейки.

Частным решением волнового уравнения (9.2) являются любые функции вида

Первое слагаемое описывает волну, которая распространяется, не меняя своей формы, в направлении возрастания x, а второе - волну, распространяющуюся с той же скоростью в сторону убывания x. Для процессов, синусоидальных во времени, решение (9.4) принимает форму

Здесь величина w (t ± x / v) называется фазой волны, а величина k = w / v - волновым числом. Волновое число характеризует пространственную периодичность волнового процесса, т. е. y (x + nl, t) = y (x, t), и связана с длиной волны соотношением: k = 2 p / l.

Для токов и напряжений в линии решение уравнения (9.4) имеет вид:

Подставляя эти выражения в телеграфное уравнение (9.1), получим связь между коэффициентами:

где

- волновое сопротивление линии. Учитывая связь между коэффициентами, перепишем (9.5) в виде

Погонные индуктивность и ёмкость линии определяются её геометрией. Для двухпроводной линии в системе СГС получаем

где r - радиус проводов, b - расстояние между ними.

Учитывая два последних соотношения, получим для волнового сопротивления следующее выражение:

где D и d - диаметры внешнего и внутреннего проводников.

Подставляя погонные L и C в (9.3), получим, что фазовая скорость волны в линии равна

Для двухпроводной линии с погонным сопротивлением проводников R и погонной утечкой G между ними телеграфные уравнения (9.1) принимают вид:

Для гармонического во времени процесса уравнения (9.9) запишутся следующим образом:

где Z и Y - комплексные последовательное сопротивление и параллельная утечка, U и I - комплексные амплитуды напряжения и тока. Из этих двух телеграфных уравнений получим уравнение для U

причём постоянная распространения g в данном случае является комплексной величиной. Представим её так:

Теперь и падающая и отражённая волны содержат множитель, характеризующий затухание. Поскольку и мнимая, и действительная части g являются нелинейными функциями частоты, то и фазовая скорость волны v = w / k зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Волновое сопротивление линии с потерями тоже комплекснозначная функция частоты