Вынужденные колебания в системе с n степенями свободы

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции колебаний. Поэтому задача о вынужденных колебаниях в системе под действием любой периодической силы сводится к нахождению вынужденных движений системы в результате действия гармонической силы частоты w. Если рассматриваемая система консервативна, то уравнение её колебаний в матричной форме принимает вид:

Вынужденные колебания системы должны быть гармоникой той же частоты

где

- амплитудный вектор вынужденных колебаний. Подставляя решение (8.20) в (8.19), получим уравнение для амплитудного вектора

Таким образом, для отыскания выражения для вынужденного колебания в матричной форме необходимо обратить матрицу

. Отметим, что в силу условия (8.5) в резонансе, т. е. при w = w_s, определитель этой матрицы равен нулю, следовательно, обратная матрица обращается в бесконечность.

Обращение матриц больших размеров - сложная задача, поэтому чаще используют другой метод - разлагают искомое решение по собственным колебаниям системы. Для этого амплитудный вектор

разлагают по

-векторам коэффициентов распределения амплитуды собственных колебаний системы:

Теперь задача сводится к отысканию неизвестных коэффициентов B_s. Внешнюю силу разложим следующим образом:

где f_s - коэффициенты разложения. Коэффициенты f_s можно найти, используя условие ортогональности (8.12). Умножая (8.23) слева скалярно на

, запишем коэффициенты f_s в виде

Подставим теперь выражения (8.22) и (8.23) в уравнение (8.21), тогда

Умножим уравнение (8.25) слева на

, используя условие ортогональности нормальных колебаний вида (8.12), получим выражение для коэффициентов B_s:

Отсюда, с помощью формулы (8.22), находим амплитуды вынужденных колебаний:

Из формулы (8.26) видно, что при w ® w_s, амплитуда вынужденных колебаний всех координат стремится к бесконечности, т. е. происходит резонансное возрастание амплитуды. Резонанса на частоте w_s не будет, если вектор внешней силы ортогонален s -му нормальному колебанию, когда в соответствии с соотношением (8.24) получается f_s = 0.

При наличии затухания расчёт колебаний для систем с n степенями свободы становится ещё более громоздким. Для диссипативных систем с затуханием типа вязкого трения можно ввести матрицу рассеяния энергии

и решать матричное уравнение

Собственные колебания, соответствующие

, линейной диссипативной системы (8.27) можно искать в виде

Подставляя (8.28) в (8.27), получим уравнение степени 2 n для определения l

Так как уравнение (8.29) имеет действительные коэффициенты, то все его комплексные корни будут попарно сопряжёнными, т. е.

где d_s и w_s - вещественные числа. Для диссипативной системы, не содержащей внутренних источников энергии, все d_s < 0. Общий вид свободных колебаний:

Для вынужденных колебаний по-прежнему разлагаем силу

по векторам

вида (8.23), а амплитуду вынужденных колебаний

- по векторам нормальных колебаний

вида (8.22). Тогда

Таким образом, при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы наблюдается резонанс. Однако амплитуда вынужденных колебаний при резонансе остается ограниченной, как и при резонансе в диссипативной системе с одной степенью свободы.