Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Каждому нормальному колебанию с частотой w_s соответствует определенное распределение амплитуд по координатам, или определённая форма колебаний. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того, чтобы показать это, запишем уравнение (8.3) для s -й и r -й форм колебаний:

Умножим скалярно справа первое из этих уравнений на

, а второе на

. Учитывая, что матрицы

симметричны, т. е.

, вычтем из второго уравнения первое:

Соотношения (8.11) и (8.12) называются условием ортогональности s -й и r -й форм нормальных колебаний. Использование условий ортогональности нормальных колебаний даёт возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с n степенями свободы. Покажем, например, что потенциальная энергия любого собственного колебания равна сумме потенциальных энергий всех собственных колебаний. Потенциальную энергию системы (8.1) в матричной форме можно записать в виде

Подставляя теперь выражение вида (8.10) и учитывая условие ортогональности (8.12), получим

Аналогично с учётом условия ортогональности (8.11) легко показать, что

Выражения (8.13) и (8.14) показывают, что в нормальных координатах и потенциальная, и кинетическая энергия являются диагональными квадратичными формами. Следовательно, систему с п степенями свободы можно представить как набор из п независимых систем с одной степенью свободы.

Зададим в момент времени t = 0 произвольное отклонение от положения равновесия системы

. Пусть скорости изменения координат в тот же момент времени равны нулю, т. е.

. Тогда из уравнения (8.9) следует, что колебание в системе в любой момент времени t > 0 можно записать в виде

Потенциальная и кинетическая энергия системы при этом с учетом формул (8.11) и (8.12) равны

При колебаниях в консервативной системе среднее по времени значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической энергии, т. е.

Расположим собственные частоты в порядке их возрастания:

Если заменить все

квадратом наинизшей частоты

, то (8.16) превращается в неравенство

Левая часть неравенства (8.17) является функцией амплитуд C_s, т. е. функцией начального распределения амплитуд по степеням свободы. Величина

является минимумом левой части (8.17) как функции

. Таким образом, используя соотношение (8.15), получим

Этот минимум достигается в том случае, когда все C_s, за исключением C ₁, равны нулю. Тогда

, т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты w ₂ следует выбрать начальное отклонение

ортогональным первой собственной форме колебания, т. е.

Тогда в выражении (8.16) суммирование начинается с s = 2 и самой низкой частотой окажется частота w ₂. Приводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим

Минимум этого выражения достигается при

, т. е. когда начальное распределение колебаний совпадает со второй собственной формой. Аналогичным образом можно найти все собственные частоты колебаний w _s и собственные формы

(по индукции легко показывается, что все квадраты собственных частот являются экстремумами некоторых выражений).