![]() Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот
Каждому нормальному колебанию с частотой ws соответствует определенное распределение амплитуд по координатам, или определённая форма колебаний. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того, чтобы показать это, запишем уравнение (8.3) для s -й и r -й форм колебаний:
Умножим скалярно справа первое из этих уравнений на
Если ws ¹ wr, то отсюда
С учётом формул (8.3) и (8.11) получаем также
Соотношения (8.11) и (8.12) называются условием ортогональности s -й и r -й форм нормальных колебаний. Использование условий ортогональности нормальных колебаний даёт возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с n степенями свободы. Покажем, например, что потенциальная энергия любого собственного колебания равна сумме потенциальных энергий всех собственных колебаний. Потенциальную энергию системы (8.1) в матричной форме можно записать в виде
Подставляя теперь выражение вида (8.10) и учитывая условие ортогональности (8.12), получим
Аналогично с учётом условия ортогональности (8.11) легко показать, что
Выражения (8.13) и (8.14) показывают, что в нормальных координатах и потенциальная, и кинетическая энергия являются диагональными квадратичными формами. Следовательно, систему с п степенями свободы можно представить как набор из п независимых систем с одной степенью свободы. Зададим в момент времени t = 0 произвольное отклонение от положения равновесия системы
Потенциальная и кинетическая энергия системы при этом с учетом формул (8.11) и (8.12) равны Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer
Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM.
SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием.
Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.
Что умеет делать SeoHammer
— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок. — Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта. — Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы). — SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание. SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
При колебаниях в консервативной системе среднее по времени значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической энергии, т. е.
Расположим собственные частоты в порядке их возрастания:
Если заменить все
Левая часть неравенства (8.17) является функцией амплитуд Cs, т. е. функцией начального распределения амплитуд по степеням свободы. Величина
Этот минимум достигается в том случае, когда все Cs, за исключением C 1, равны нулю. Тогда
Тогда в выражении (8.16) суммирование начинается с s = 2 и самой низкой частотой окажется частота w 2. Приводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим
Минимум этого выражения достигается при
|