Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Ортогональность нормальных колебаний и экстремальные свойства собственных частот






    Каждому нормальному колебанию с частотой ws соответствует опреде­ленное распределение амплитуд по координатам, или определённая форма колебаний. Формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам, ортогональны друг другу. Для того, чтобы показать это, запишем уравнение (8.3) для s -й и r -й форм колебаний:

    ,   .

    Умножим скалярно справа первое из этих уравнений на , а второе на . Учитывая, что матрицы и симметричны, т. е. , , вычтем из второго уравнения первое:

    .

    Если ws ¹ wr, то отсюда

    . (8.11)

    С учётом формул (8.3) и (8.11) получаем также

    . (8.12)

    Соотношения (8.11) и (8.12) называются условием ортогональности s -й и r -й форм нормальных колебаний. Использование условий ортогональности нормальных колебаний даёт возможность получить некоторые соотношения, общие для любых систем с n степенями свободы. Покажем, например, что потенциальная энергия любого собственного колебания равна сумме потенциальных энергий всех собственных колебаний. Потенциальную энергию системы (8.1) в матричной форме можно записать в виде

    .

    Подставляя теперь выражение вида (8.10) и учитывая условие ортогональности (8.12), получим

    . (8.13)

    Аналогично с учётом условия ортогональности (8.11) легко показать, что

    . (8.14)

    Выражения (8.13) и (8.14) показывают, что в нормальных координатах и потенциальная, и кинетическая энергия являются диагональными квадратичными формами. Следовательно, систему с п степенями свободы можно представить как набор из п независимых систем с одной степенью свободы.

    Зададим в момент времени t = 0 произвольное отклонение от положения равновесия системы . Пусть скорости изменения координат в тот же момент времени равны нулю, т. е. . Тогда из уравнения (8.9) следует, что колебание в системе в любой момент времени t > 0 можно записать в виде

    ,   . (8.15)

    Потенциальная и кинетическая энергия системы при этом с учетом формул (8.11) и (8.12) равны

    ,   .

    При колебаниях в консервативной системе среднее по времени значение потенциальной энергии равно среднему значению кинетической энергии, т. е.

    . (8.16)

    Расположим собственные частоты в порядке их возрастания:

    .

    Если заменить все квадратом наинизшей частоты , то (8.16) превращается в неравенство

    . (8.17)

    Левая часть неравенства (8.17) является функцией амплитуд Cs, т. е. функцией начального распределения амплитуд по степеням свободы. Величина является минимумом левой части (8.17) как функции . Таким образом, используя соотношение (8.15), получим

    . (8.18)

    Этот минимум достигается в том случае, когда все Cs, за исключением C 1, равны нулю. Тогда , т. е. распределение амплитуд по координатам совпадает с первой собственной формой колебания. Для нахождения второй собственной частоты w 2 следует выбрать начальное отклонение ортогональным первой собственной форме колебания, т. е.

    и .

    Тогда в выражении (8.16) суммирование начинается с s = 2 и самой низкой частотой окажется частота w 2. Приводя рассуждения, аналогичные изложенным выше, получим

    .

    Минимум этого выражения достигается при , т. е. когда начальное распределение колебаний совпадает со второй собственной формой. Аналогичным образом можно найти все собственные частоты колебаний w s и собственные формы (по индукции легко показывается, что все квадраты собственных частот являются экстремумами некоторых выраже­ний).






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.