Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Линейное пространство сигналов
|
|
Теория сигналов становится строгой и выразительной, если она базируется на математическом аппарате функционального анализа. Иногда говорят об использовании геометрических методов, когда сигнал представляют вектором в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.
Воспользуемся известными из линейной алгебры положениями для формирования пространства сигналов, в котором удобно исследовать сигналы – синтезировать, анализировать, вести их обработку на основе формализованных подходов.
Пусть существует множество сигналов
|
имеющих некоторые общие для всех сигналов свойства. Для удобства работы с множеством сигналов зададим его структуру (аксиоматику), определяющую «взаимоотношения» между различными его элементами.
Будем говорить, что множество L образует вещественное линейное пространство сигналов, если его структура выражается следующими аксиомами:
1. Любой сигнал 
при любых t принимает лишь вещественные значения.
2. Для любых 
существует 
; при этом операция суммирования коммутативна; 
и ассоциативна: 
.
3. Для любого 
и любого вещественного 
определён сигнал 
, 
.
4. Существует элемент 
, такой, что 
для всех 
Если элементы множества – комплексные числа, то введя соответствующее изменение в аксиоме 1 и умножение на комплексное число в аксиоме 3, можно определить комплексное линейное пространство.
Представленные аксиомы являются очень «жесткими», поэтому для расширения круга задач, решаемых с использованием линейных пространств, в структуру вводятся четыре существенных дополнений.
10 Координатный базис
Координатный базис по аналогии с векторным пространством вводится как система линейно независимых сигналов 
, для которых
| (1.6) |
лишь в случае, когда все 
.
Тогда сигнал можно разложить в координатном базисе
| (1.7) |
где Ci - проекции сигнала s(t) в базисе 
.
Например, для сигналов, представляемых степенным рядом
|
базисом является совокупность сигналов
20 Понятие нормы в линейном пространстве сигналов
Пространство L является нормированным, если каждому сигналу сопоставлено число 
- норма этого сигнала, и справедливы следующие свойства нормы:
- 
(неотрицательна), 
тогда и только тогда, когда 
;
- для любого 
справедливо 
.
- если 
, то справедливо неравенство треугольника 
Используются несколько способов задания нормы:
| (1.8) |
– для вещественных аналоговых сигналов;
| (1.9) |
– для комплексных сигналов.
(1.8) называют энергетической формой представления нормы, потому что, возведенная в квадрат, она является энергией сигнала (на практике чаще всего о сигнале 
судят по энергетическому эффекту), т.к.
| (1.10) |
т. е. если через сопротивление в 1 Ом протекает ток , то Es –энергия, выделяемая на этом сопротивлении.
Кроме того, при использовании интегральной формы нормы сглаживаются кратковременные случайные выбросы в полезном сигнале.
Если норма вводится в форме (1.8), то L называют пространством функций с интегрируемым квадратом и обозначают L2.
30 Метрика линейного пространства
Пространство L становится метрическим, если каждой паре элементов 
сопоставлено неотрицательное число 
– метрика (или расстояние между элементами), обладающая свойствами:
– рефлекcивность метрики;
при любых 
;
для любого 
.
Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов
| (1.11) |
Норму можно понимать как расстояние между выбранным элементом и нулевым элементом 
.
Зная метрику можно судить, насколько хорошо один сигнал аппроксимирует другой.
40 Скалярное произведение в пространстве сигналов
Введя структуру, норму и метрику линейного пространства, мы все же не имеем возможность вычислять важную характеристику – угол между сигналами (векторами). Этот изъян устраняется, если ввести скалярное произведение, пользуясь соотношениями аналитической геометрии (рис. 1.8).
Известно, что
| (1.12) |
где 
|
Рис. 1.8 Представление суммы векторов в векторном (эвклидовом) пространстве
По аналогии с векторными представлениями выразим энергию суммы двух сигналов
| (1.13) |
Сравнивая (1.12) и (1.13), определим скалярное произведение двух сигналов 
как
| (1.14) |
И соответственно угол между двумя сигналами
| (1.15) |
Интеграл 
называют еще взаимной энергией сигналов 
.
Запишем для скалярного произведения 
очевидные свойства
| (1.16) |
Дополнения 10…40 совместно с основными аксиомами 1…4 обеспечивают универсальную конструкцию линейного пространства сигналов.
Линейное пространство со скалярным произведением (1.14)…(1.16) полное в том смысле, что содержит все свои предельные точки любых сходящихся последовательностей из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н.
Если ввести комплексное скалярное произведение по формуле
| (1.17) |
а также равенство 
, то получим аналогичное определение комплексного гильбертова пространства. Здесь 
и 
– соответственно комплексно-сопряженные значения сигнала и скалярного произведения.
Сконструированное таким образом пространство сигналов позволяет формализовать работу с сигналами, упростить их анализ и синтез, а также решение задач исследования в целом.
Одной из таких задач в устройствах передачи и обработки информации является задача ортогонализации.
Два сигнала u и 
называются ортогональными, если их скалярное произведение и, следовательно, взаимная энергия равна нулю
| (1.18) |
В практических расчетах при анализе сигналов удобнее пользоваться ортонормированным базисом, определяемым как система ортогональных функций, обладающих единичными нормами и скалярным произведением
| (1.19) |
|
|