Анықталған интегралдың анықтамасы. функциясы кесіндісінде анықталсын, мұнда . Төменгі амалдарды орындаймыз.

1. нү ктелерімен кесіндісін элементар кесінділерге (бө ліктерге) бө леміз:

2. Ә рбір , элементар кесіндінің ішінде жатқ ан, кез келген бір нү ктесін аламыз жә не осы нү ктедегі функцияның мә нін есептейміз, яғ ни шамасын табамыз.

3. Функцияның табылғ ан мә ндерін сә йкес элементар кесінділердің ұ зындығ ына, яғ ни кө бейтеміз: .

4. Барлық осындай кө бейтінділердің қ осындысын қ ұ рамыз:

қ осындысы функциясының кесіндісіндегі интегралдық қ осындысы деп аталады. Элементар кесінділердің ең ү лкен ұ зындығ ын деп белгілейміз: .

5. ұ мтылғ анда, яғ ни ұ мтылғ анда интегралдық қ осындысының шегін табамыз. Егер - интегралдық қ осындысы ү шін ақ ырлы шек бар болып, ол кесіндісін дербес бө ліктерге бө лу жолына жә не нү ктелерін таң дап алу тә сіліне тә уелсіз болса, онда ол шекті функциясының кесіндісіндегі анық талғ ан интегралы деп атайды жә не оны символымен белгілейді. Сонымен,

Мұ ндағ ы санын интегралдың тө менгі шегі, ал санын — жоғ ары шегі дейді. — интеграл астындағ ы функция, интеграл астындағ ы ө рнек деп аталады.

Егер саны бар болса, онда функциясы кесіндісінде интегралданатын функция деп аталады. Енді анық талғ ан интегралдың бар болуы туралы теореманы келтірейік.

Теорема ( К оши). Егер функциясы кесіндісінде ү зіліссіз болса, онда оның осы аралық та анық талғ ан интегралы бар. Егер функциясының аралығ ында санаулы бірінші текті ү зіліс нү ктелері болса, онда бұ л функция аралығ ында интегралданады.

Анық талғ ан интегралдың анық тамасынан шығ атын оның кейбір қ асиеттері:

1. Анық талғ ан интеграл ө зінің интегралдау айнымаласына тә уелді емес, ол тек интегралдың шектері мен функциясынан тә уелді, яғ ни ,

2. Егер болса, онда

3. Кез келген нақ ты саны ү шін:

Анық талғ ан интегралдың қ асиеттері. Бұ л бө лімде интегралданатын функцияларды қ арастырамыз.

1. , мұ нда - нақ ты сан.

2. .

3.

4. Егер тең сіздігі орындалса, онда .

5. Егер кесіндісінде болса, онда .

6. Орта мә н туралы теорема. Егер функциясы кесіндісінде ү зіліссіз болса, онда кесіндісінен тең дігі орындалатындай саны табылады.

Ньютон – Лейбниц формуласы. Егер функциясы кесіндісінде интегралданатын болса, онда ол осы кесіндінің ішінде жатқ ан кез келген кесіндісінде де интегралданады. , мұ нда функциясын қ арастыралық.

Теорема. Егер функциясы кесіндісінде ү зіліссіз болса, онда функциясы да кесіндісінде ү зіліссіз болады.

Теорема. функциясы кесіндісінде ү зіліссіз болсын. Онда

Салдар. кесіндісінде ү зіліссіз болғ ан кез келген функциясының осы кесіндіде алғ ашқ ы функциясы бар, ол функциясына тең. Енді интегралды есептеудің негізгі формуласы Ньютон – Лейбниц формуласына кө шелік.

Негізгі теорема. функциясы кесіндісінде ү зіліссіз жә не

оның осы кесіндідегі алғ ашқ ы функциясы болсын. Онда

формуласы Ньютон- Л ейбниц формуласы деп аталады. Ньютон-Лейбниц формуласы анық талғ ан интегралды есептеу ү шін ө те қ олайлы қ ұ рал. Оны қ олдану ү шін интеграл астындағ ы жатқ ан функцияның бір алғ ашқ ы функциясын білу жеткілікті.