Дифференциалдық есептеулердің негізгі теоремалары

Анық тама. Егер нү ктесінің бір маң айында тең сіздігі орындалса, онда нү ктесін функциясының жергілікті минимум (максимум) нү ктесі деп атайды. Жергілікті минимум жә не жергілікті максимум нү ктелері жергілікті экстремум нү ктелері деп аталады. Ал осы нү ктелердегі функцияның мә ні функцияның экстремумы деп аталады. кесіндісінде анық талғ ан функцияның тек қ ана бір ең ү лкен жә не ең кіші мә ндері болады, ал максимумдар жә не минимумдер бірнеше болуы мү мкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мү мкін.

Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса жә не нү ктесінде ең ү лкен немесе ең кіші мә нін қ абылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұ л нү ктеде нө лге тең, яғ ни .

Геометриялық мағ ынасы: функцияның максимум жә не минимум нү ктелерінде жү ргізілген жанама ө сіне параллель болады.

Ролль теоремасы. Егер функциясы: кесіндісінде ү зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса жә не болса, онда ең болмағ анда бір нү ктесі табылып, болады.

Геометриялық мағ ынасы: егер теорема шарттары толығ ымен орындалса, онда кесіндісінде жататын ең болмағ анда бір нү ктесі табылып, сол нү ктеде жү ргізілген жанама ө сіне параллель болады.

Kоши теоремасы. Егер жә не функциялары кесіндісінде ү зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса жә не , онда ең болмағ анда бір нү ктесі табылып тең дігі орындалады.

Л агранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде ү зіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нү ктесі табылып, тең дігі орындалады.

Геометриялық мағ ынасы: мына қ атынас кесіндісінде функциясының графигінің шеткі нү ктелерін қ осатын хорданың ө сінің оң бағ ытымен жасайтын бұ рыштың тангесіне тең, ал нү ктесіне жү ргізілген жанаманың ө сінің оң бағ ытымен жасайтын бұ рышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша нү ктесінде олар ө зара тең болады, яғ ни қ июшы мен жанама параллель болады.

Лопиталь ережесі. Бұ л ереже немесе анық талмағ андық тарын есептеуге мү мкіндік береді.

Теорема. Айталық, нү ктесінің маң айында жә не функциялары анық талғ ан жә не дифференциалданатын болсын (нү ктенің ө зінде бұ л шарттар орындалмауы да мү мкін) жә не , , . Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады жә не мына тең дік орындалады: = . Осы сияқ ты тұ жырымдар , , , , жағ дайларда да орынды.

Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның ө сімшесі былай жазылады: . Осы тең дікте екінші қ осылғ ыш , ке қ арағ анда жоғ арғ ы ретті шексіз аз шама болғ андық тан, бірінші қ осылғ ыш ке эквивалентті шама болады.

Анық тама. Функцияның туындысының аргументтің ө сімшесіне кө бейтіндісін дифференциал деп атайды жә не мына тү рде жазады: . Дербес жағ дайда, егер болса, онда , осыдан жә не осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуғ а болады: . Осыдан , яғ ни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бө лінген мә ніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық жә не дифференциалданатын функциялар болсын,

1) , мұ ндағ ы с – сан.

2) ,

3) , егер .

4) Егер функциясы нү ктесінде дифференциалданатын, ал нү ктесінде дифференциалданатын болса, онда кү рделі функция ү шін, . Бұ л ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығ ы деп атайды. Дифференциалды жуық тап есептеуге қ олдануғ а болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның ө сімшесі:

, осыдан .

Егер нү ктесінде функцияның мә ні берілсе, онда: .