Решение типовых задач по математической статистике

Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35, 9; 35, 3; 42, 7; 45, 2; 25, 9; 35, 5; 33, 4; 27, 0; 35, 9; 38, 8; 33, 7; 38, 6; 40, 9; 35, 5; 44, 1; 37, 4; 34, 2; 30, 8; 38, 4; 31, 3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , s², s, V, s_x; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней x_Г.

Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25, 9; 27, 0; 30, 8; 31, 3; 33, 4; 33, 7: 34, 2; 35, 3; 35, 3; 35, 5; 35, 9; 35, 9; 37, 4; 38, 4; 38, 6; 38, 8; 40, 9; 42, 7; 44, 1; 46, 2.

Максимальное значение признака составляет 46, 2 ц, а минимальное – 25, 9 ц. Разница между ними составляет 20, 3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 5–6 классов. Возьмем длину интервала ∆ x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n₁= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n₂= 5. Аналогично n₃= 9, n₄=3, n₅= 1.

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

w₁=n₁/n=2/20=0, 1; w₂=n₂/n=5/20=0, 25; w₃=n₃/n=9/20=0, 45;

w₄=n₄/n=3/20=0, 15; w₅=n₅/n=1/20=0, 05.

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

w₁+ w₂+ w₃+ w₄+ w₅=0, 1+0, 25+0, 45+0, 15+0, 05=1.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности w_i/∆ x относительных частот вариант. Получаем

w₁/∆ x₁=0, 1/5=0, 02; w₂/∆ x₂=0, 25/5=0, 05; w₃/∆ x₃=0, 45/5=0, 09;

w₄/∆ x₄=0, 15/5=0, 03; w₅/∆ x₅=0, 05/5=0, 01.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот.

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы

№	Результат обследования xi	xi–	(xi– )2
	35, 9	–0, 1	0, 01
	35, 3	–0, 7	0, 49
	42, 7	6, 7	44, 89
	45, 2	9, 2	84, 64
	25, 9	–10, 1	102, 01
	35, 3	–0, 7	0, 49
	33, 4	–2, 6	6, 76
	27, 0	–9, 0	81, 00
	35, 9	–0, 1	0, 01
	38, 8	2, 8	7, 84
	33, 7	–2, 3	5, 29
	38, 6	2, 6	6, 76
	40, 9	4, 9	24, 01
	35, 5	–0, 5	0, 25
	44, 1	8, 1	65, 61
	37, 4	1, 4	1, 86
	34, 2	–1, 8	3, 24
	30, 8	–5, 2	27, 04
	38, 4	2, 4	5, 76
	31, 3	–4, 7	22, 09
Σ	720, 3		490, 05

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

= 720, 3/20 = 36, 015;

= 490, 05/19 = 25, 79;

= 5, 08;

= 5, 08/4, 47 = 1, 34;

= 5, 08/36∙ 100% = 14%.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:

t_γ ∙ s_x = 2, 10ּ 1, 34 = 2, 8,

где значение = 2, 10 находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от = 36 – 2, 8 = =33, 2 ц (гарантированный минимум) до = 36 + 2, 08 = 38, 8 ц (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0, 95 заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

(24∙ 3+2∙ 10+28∙ 6+30 ∙ 16+3 ∙ 15+34∙ 30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

=1/99ּ (3∙ (24–32)²+10∙ (26–32)²+6∙ (28–32)²+

+16∙ (30–32)²+15∙ (32–32)²+30∙ (34–32)²+20∙ (36–32)²)= =1/99ּ (192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ 1152=11, 64.

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве = = 3, 4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

= 3, 4/ = 0, 34 ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0, 34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3, 4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством

P() = γ,

согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки .

Так как n = 100 > 30, то значениеt_γ найдем из условия γ =2Ф(t_γ )=0, 95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(t_γ )=0, 475 и t_γ =1, 96.

= 1, 96ּ 3, 4/ = 0, 67.

Концы доверительного интервала:

= 32 – 0, 67 = 31, 33 и = 32 + 0, 67 = 32, 67.

Таким образом, с вероятностью 0, 95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31, 33 ц до 32, 67 ц.