Анализ свойств разомкнутых СеМО

Свойства разомкнутых СеМО определяются значениями узловых и сетевых характеристик, связанных между собой зависимостями, представленными в разделе 3. Наибольший интерес представляют свойства сети в целом, поскольку свойства отдельных узлов СеМО аналогичны свойствам соответствующих одноканальных и многоканальных СМО.

На рис. 4.13 показана зависимость основной сетевой характеристики РСеМО – среднего времени пребывания U заявок в сети от интенсивности λ ₀ поступления заявок в сеть. Зависимость U' = f'(λ ₀) аналогична зависимости среднего времени пребывания заявок в СМО от загрузки системы, изменение которой может быть обусловлено, в частности, изменением интенсивности поступления заявок в СМО. Как и в СМО, имеется некоторое предельное значение интенсивности λ '_{0 max}, при котором среднее время пребывания заявок в сети становится бесконечно большим, что свидетельствует о перегрузке в СеМО. Выше (см.п.3.4.2) показано, что в РСеМО отсутствуют перегрузки, если они отсутствуют во всех узлах сети, то есть перегрузка в разомкнутой СеМО наступает в том случае, когда загрузка одного из узлов сети становится равной единице. Такой узел называется «узким местом» и характеризуется тем, что очередь заявок перед ним со временем растёт до бесконечности и, как следствие, становится бесконечным число заявок в разомкнутой СеМО.

Для того чтобы избавиться в РСеМО от перегрузки, необходимо разгрузить «узкое место». Это может быть достигнуто следующими способами:

• увеличением скорости работы (быстродействия) обслуживающего прибора;

• увеличением числа обслуживающих приборов в узле.

Любой из этих способов позволяет увеличить производительность СеМО в целом и, как следствие, улучшить характеристики сети. Зависимость среднего времени пребывания U заявок в сети от интенсивности λ ₀ поступления заявок в сеть принимает вид U" = f " (λ ₀), то есть время пребывания заявок при одной и той же интенсивности λ ₀ становится меньше (поскольку сеть имеет большую производительность), а предельное значение интенсивности λ " _{0 max}, при котором наступает перегрузка СеМО, становится больше: λ '_{0 max} > λ " _{0 max}. При этом появляется новое узкое место в СеМО, и дальнейшее улучшение сети может быть достигнуто путём разгрузки нового узкого места. Очевидно, что если СеМО является моделью реальной технической системы, разгрузка узкого места за счёт увеличения скорости работы обслуживающего прибора или числа приборов в узле означает увеличение стоимости реальной системы.

Существует ещё один способ разгрузки узкого места СеМО, заключающийся в уменьшении вероятности передачи заявок к узлу, являющемуся узким местом. Этот способ часто используется в реальных системах и обычно не связан с увеличением стоимости системы. Например, в вычислительной системе изменение вероятностей передач к накопителям внешней памяти может быть достигнуто за счет перераспределения файлов между накопителями: наиболее часто используемые файлы, расположенные в наиболее загруженном накопителе, переносятся в наименее загруженный накопитель. При этом уменьшается количество обращений к загруженному накопителю (коэффициент передачи соответствующего узла СеМО).

Характер зависимостей других сетевых характеристик (времени ожидания, числа заявок в сети и в состоянии ожидания) разомкнутой СеМО от интенсивности поступления заявок аналогичен показанному на рис. 4.13.

Пример 4.3. Проиллюстрируем способы разгрузки узкого места и получаемый от этого эффект для четырёхузловой разомкнутой СеМО, рассмотренной в примере 4.2. Там же было показано, что интенсивность поступления заявок в разомкнутую СеМО, при которой в сети отсутствуют перегрузки, должна удовлетворять условию: λ ₀ < 0, 125 с^{− 1}.

1. Рассчитаем сначала характеристики РСеМО, работающей в области загрузок, близких к 1, для чего положим, что интенсивность потока поступающих в сеть заявок равна λ ₀ = 0, 12 с^{− 1}

Тогда интенсивности потоков заявок в узлы РСеМО соответственно будут равны: λ ₁ = α ₁λ ₀ = 1, 2 с^{− 1}, λ ₂ = α ₂λ ₀ = 0, 24 с^{− 1}, λ ₃ = α ₃λ ₀ = 0, 84 с^{− 1}, λ ₄ = α ₄λ ₀ = 1, 08 с^{− 1}, а средние длительности обслуживания заявок, как и ранее, будут равны: b₁ = 0, 8с; b₂ = 2с; b₃ = 0, 4 с; b₄ = 0, 3с.

Рассчитанные значения узловых и сетевых характеристик СеМО приведены в табл.4.3.

Таблица 4.3

Анализ представленных результатов показывает, что увеличение интенсивности поступления заявок в РСеМО всего лишь на 20% до значения λ ₀ = 0, 12 с^{− 1}, привело к резкому росту значений сетевых характеристик. В частности, среднее время пребывания заявок в сети выросло в 4 раза, а число заявок, находящихся в очередях – почти в 6, 5 раз. Это говорит о том, что СеМО работает в области больших загрузок, где незначительное увеличение нагрузки приводит к существенному изменению характеристик обслуживания заявок. Наиболее загруженным узлом СеМО, то есть узким местом, является узел 1, загрузка которого много больше загрузок других узлов и составляет ρ ₁ = 0, 96. Именно в этом узле характеристики обслуживания заявок выросли наиболее существенно: среднее время пребывания заявок в 5 раз (с 4 до 20 секунд), а средняя длина очереди – более чем в 7 раз (с 3, 2 до 23 заявок).

2. Для улучшения характеристик обслуживания заявок в РСеМО необходимо разгрузить узкое место сети, которым является узел 1. Для этого увеличим скорость работы обслуживающего прибора в 2 раза, что, в конечном счете, приведёт к уменьшению длительности обслуживания заявок в 2 раза, которая станет равной b₁=0, 4 с.

Рассчитанные значения узловых и сетевых характеристик СеМО после разгрузки узкого места приведены в табл.4.4.

Анализ представленных результатов показывает, что разгрузка узкого места позволила существенно уменьшить значения сетевых характеристик: среднее время пребывания заявок в сети уменьшилось более чем в 9 раз, а число заявок, находящихся в очередях – почти в 20 раз. Отметим, что изменение длительности обслуживания заявок в узле 1 привело к изменению узловых характеристик только этого узла; узловые характеристики остальных узлов не изменились. Это является следствием независимого функционирования узлов экспоненциальной разомкнутой СеМО, что фактически и позволяет использовать метод расчёта характеристик сети, основанный на декомпозиции, то есть представлении сети в виде совокупности независимых СМО.

Таблица 4.4

3. Для сравнения выполним разгрузку узкого места другим способом, а именно: увеличим число обслуживающих приборов в узле 1 с одного до двух: K₁ = 2, сохранив прежнее значение длительности обслуживания одним прибором: b₁ = 0, 8 с.

Рассчитанные значения узловых и сетевых характеристик СеМО после разгрузки узкого места приведены в табл.4.5.

Таблица 4.5

Сравним полученные значения сетевых характеристик со значениями, представленными в табл. 4.4 для первого способа разгрузки узкого места за счёт уменьшения длительности обслуживания заявок. При втором способе разгрузки узкого места за счёт увеличения числа обслуживающих приборов (K₁ = 2; b₁ = 0, 8 с) среднее время ожидания заявок в сети несколько уменьшилось по сравнению с первым способом (K₁ =1; b₁ = 0, 4 с). В то же время, среднее время пребывания заявок в РСеМО увеличились более чем на 10%, что обусловлено большей длительностью обслуживания заявок (b₁ = 0, 8 с) в каждом из приборов двухканального узла 1 по сравнению с одноканальным узлом при первом способе (b₁ = 0, 4 с). Как и в предыдущем случае, изменение числа обслуживающих приборов в узле 1 привело к изменению узловых характеристик только этого узла.

ВЫВОД

Для того чтобы избавиться в РСеМО от перегрузки, необходимо разгрузить «узкое место». Это может быть достигнуто следующими способами: увеличением скорости работы (быстродействия) обслуживающего прибора, увеличением числа обслуживающих приборов в узле.