Определение среднего значения электронов в электронном газе в Металле при абсолютном нуле

Выделим некоторые значения энергии и соответствующий этой энергии интервал

Соответствующий фазовый

Проинтегрируем соответствующие выражение по простым координатам, а в пространстве импульсов придем к сферической системе координат.

.

Тогда левая и правая часть представляют собой число квантовых состояний, попадающих в выделенный интервал энергии.

- число электронов.

- энергия электронов в выделенном фазовом объеме.

Если проинтегрировать выражение от 0 до по возможным значениям то

- полная энергия всех электронов находящихся в электронном газе при абсолютном нуле.

Перейдем от к , выразим из выражения для химического потенциала.

Суммарная энергия электронов электронного газа

Средняя энергия приходится на 1 электрон:

Эта энергия не связана с тепловым движением, носит сугубо квантовый характер.

Значение внутренней энергии электронного газа (без вывода):

где .

Это выражение позволяет определить теплоемкость:

Вместо его выражение:

.

Т.к. речь идет о молярной теплоемкости, то :

- у газа.

,

,

.

Т.о. теплоемкость электронного газа, с учетом квантовых явлений оказалась в сотню раз меньше, чем теплоемкость идеального газа. Экспериментально выделить эту погрешность было сложно в силу неточности прибора.

С точки зрения квантовой модели электронного газа большинство электронов, как и при абсолютном нуле, упакованы на энергетических уровнях и участия в электро- и теплопроводности не принимают.