Лекция 3: Дифференциальные уравнения и передаточные функции звеньев САУ

Понятие структурной схемы системы

При исследовании или проектировании САУ требуется иметь ее математическое описание или описание ее звеньев (элементов). Обычно описание системы начинается с ее звеньев.

Это осуществляется:

1) аналитически → (в виде уравнений)

2) графически → (в виде временных и частных характеристик)

По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики систем в целом, на основе которых и исследуются системы и ведутся расчеты.

Ранее при рассмотрении принципа действия САУ было ведено понятие функциональной схемы (блок-схемы). В этой схеме система разбита на звенья, исходя из выполняемых ими функций, т.е. их назначения (регулятор, двигатель, датчик и т.п.).

Для получения математической модели систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно – исходя из удобства получения математического описания. При этом систему разбивают на возможно более простые (" мелкие") звенья, но которые должны обладать свойством – направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, т.е. изменение выхода не влияет на вход этого же звена.

Это дает возможность описывать звено без взаимодействия с другими звеньями. На практике это условие принимается даже при небольшом влиянии выхода на вход.

На основе таких звеньев можно получить математическую модель всей системы в целом.

Классической моделью САУ является структурная схема системы, которая состоит из звеньев однонаправленного действия. Если каждому звену придать математическое описание, то структурная схема получает статус математической модели, которая полностью описывает все характеристики (свойства) системы.

Внешне структурная схема состоит из прямоугольников, соединенных стрелками, указывающими направление передачи сигнала (воздействия).

Например, для системы стабилизации температуры жидкости можно построить следующую структурную схему

В этой схеме символом W_i(s) обозначены так называемые передаточные функции. В классической ТАУ это основная модель линейного звена. Хотя могут быть и дифференциальные уравнения.

Они получаются обычно специалистами в соответствии технической области (электромеханик, энергетик, электроник и т.п.), знающих основы автоматизации.

Сначала получают дифференциальные уравнения, а затем из них передаточные функции.

Операторный метод описания звеньев САУ

Основным (классическим) способом описания звеньев являются передаточные функции. Они легко получаются из дифференциальных уравнений звеньев следующим образом.

Пусть

описывает звено

Тогда, используя преобразование Лапласа или Карсона к обеим частям уравнения, получим (при нулевых начальных условиях), учитывая что

– это и есть переходная функция

Более строго: Переходная функция – это отношение изображений по Лапласу (Карсону) выходной координаты ко входной при нулевых начальных условиях.

Достоинство: Над переходной функцией можно осуществлять алгебраические операции.

Примечание: По Лапласу - комплексная переменная

Получение переходных функций элементов САУ

1. Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения

(1)

(2)

 

(3)

(4)

при этом

	Блок – (функц.) схема

 

 

перейдя к операторной форме и исключая все промежуточные координаты кроме U _д, М_с и Ω, получим из (2) и (3)

Поделив на С_е и разрешив уравнение относительно М_с и U _д получим

, , ,

тогда .

Разрешив уравнение относительно Ω, получим

или более кратко .

Здесь Т_м – электромеханическая постоянная времени [сек];

Т_э – электромагнитная постоянная времени [сек];

К _д – коэффициент передачи по напряжению U _д ;

К_с – коэффициент передачи по моменту М_с .

Из последнего уравнения можно построить структурную схему ЭД постоянного тока независимого возбуждения

 

 

где Ω ₀ – скорость холостого хода

Δ Ω – перепад скорости за счет изменения М_с.

 

Вывод: Переходные функции получаются из уравнения с несколькими воздействиями путем приравнивания нулю всех входов, кроме искомого.

В следящих системах выходной координатой является угол поворота вала ЭД α. С учетом → получим и соответственно

 

Примечание: Аналогичным образом получают переходные функции для других объектов (процессов). Имеется большое количество переходных функций для объектов и звеньев САУ различной физической природы. Они приводятся в справочниках и специальной литературе. Т.е. получить переходные функции в большинстве случаев нет необходимости.

Однако в современной теории управления используется другой подход для получения математической модели объекта управления → так называемая идентификация.

 

 

2. Передаточные функции аналогового регулятора

Регуляторы предназначены для формирования закона управления. Они часто реализуются на операционных усилителях. Из теории операционных усилителей, охваченных о.с. следует, что

 

 

 

Отсюда, например:

→ переходная функция интегратора

 

→

 

Примечание: Имеются табличные переходные функции на основе операционных усилителей (см. кн. ТАУ).

На входе такого регулятора можно реализовать уравнение ошибки:

 

 

 

Примечание: Кроме регуляторов на основе операционных усилителей строят фильтры и корректирующей цепи.

 

 

3. Передаточные функции корректирующих пассивных цепочек

Передаточную функцию корректирующего звена можно получить, используя теорию эл. цепей постоянного тока (четырехполюсники).

Например:

т.е. .

4. Передаточные функции датчиков и электронных преобразователей

Датчики также являются инерционными элементами. Однако они работают с более инерционными элементами.

Например: ЭД и ТГ, печь (жидкость) и термосопротивление.

Поэтому ПФ всех датчиков и электр. преобразователей усилителей представляют в виде коэффициента передачи (статическое звено (безынерционное звено)).

, , , .

Хотя инерционностью обладают даже электронные устройства (все относительно).

 

Линеаризации математических моделей НЭ

 

Как правило, звенья САУ в большей или меньшей степени нелинейны. Однако при работе системы в установившемся режиме или близких к ним сигналы (координаты) системы изменяются незначительно.

Это позволяет гладкие нелинейности заменить линейными звеньями.

В теории управления нелинейное динамическое звено обычно заменяется (представляется) в виде последовательного соединения статического НЭ и линейного динамического звена:

 

Такая модель позволяет осуществить анализ нелинейной зависимости φ (х) и связанных с ней режимов работы системы.

Но основной возможностью является линеаризация. Она осуществляется с помощью разложения нелинейной функции φ (х) в окрестности точки номинального (установившегося) режима в виде ряда Тейлора и отбрасыванием членов выше первого порядка.

или

или

, где - коэффициент передачи линеаризации НЭ.

Коэффициент К удобно определять графически, как касательную к точке (у₀, х₀):

(графический метод определения К)

На практике значки приращения Δ опускают, т.к. они загромождают записи и записывают

В результате имеем:

 

 

Вывод: Таким образом в автоматике появились линейные непрерывные системы.

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒