Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме

Потенциал в этой задаче имеет вид:

Такая система соответствует частице, движущейся вдоль прямой линиии отскакивающей от абсолютно отражающих препятствий в точках х = 0и х = l. В область бесконечного потенциала частица проникнуть не мо-жет, следовательно ? ?

(х) = Аsin(kх) + Вcos(кх ). Используем сначалапервое граничное условие:

Asin(kx)+Bcos(kx)

или бегущих

Аеiкх + Вei-кх

если 0 х I, если х I или х 0.

? ?

(х) = Аsin(кх). Если продолжить нашу аналогию, то можно сказать, что на струне, закрепленной в одной точке, бегущих волн не бывает: отражение от неподвижной точки обязательно порождает стоячую волну.Однако на длину волны никаких ограничений не накладывается: такаяструна также не звучит.

Теперь наложим второе из граничных условий:

? ?

(х) = 0, чтоозначает отсутствие частицы в яме (вероятность найти ее всюду равнанулю). Поэтому нас интересует второе решение, когда sin (kl) = 0. Этовозможно лишь при некоторых значениях волнового вектора: kп = n/1(п = 1, 2, 3,...). Так как энергия частицы связана с волновым вектором, то

Мы получили квантование энергии, то есть наша ``струна'', закрепленнаяс обеих сторон, зазвучала, так как появились выделенные частоты.

Подставляя найденные разрешенные значения волнового вектора в вы-ражение для волновой функции, получаем ее в виде:

Смысл квантового числа п: оно на единицу больше числа нулей вол-новой функции. Значение постоянной А = у/2/7 определено из условиянормировки (см. задачи в последнем разделе этой главы).

Откуда же берется дискретность уровней энергии, характерная и дляатома? Сравним со свободной частицей: уравнения те же, но с инымиграничными условиями! Здесь возможны две постановки задачи. В пер-вом случае исследуется состояние, которому в классике соответствовалобы инфинитное движение (задача рассеяния). Обычно в таких случаяхрешения возможны при любых значениях энергии Е (как говорят, спектр непрерывен ). Во втором случае исследуется состояние, которому в клас-сике соответствует финитное движение в ограниченной области про-странства (задача на связанные состояния). Требование конечности вол-новой функции во всем пространстве ведет к квантованию энергии.

Глава 30. Уравнение Шредингера

Подчеркнем: в этом случае стационарное уравнение имеет физическиприемлемые решения не всегда, а лишь при некоторых значениях Е. Какследствие возникает дискретный спектр энергии системы.

Задача 30.21. Определить разность соседних уровней энергии Е длячастицы в бесконечной потенциальной яме при больших значениях п. По-лученный результат использовать для оценки разности соседних уровнеймолекул азота при комнатной температуре Т = 300 К в сосуде. Принятьмассу молекулы т = 2.3 10-26 кг, а линейный размер сосуда l = 0.1 м.Сравнить результат с кинетической энергией поступательного движениямолекул азота.

Решение. Используя выражение для уровней энергии частицыв потенциальной яме, находим разность энергий соседних уровней

при больших значениях п. Кинетическая энергия поступательного дви-жения молекул азота равна Е = 3 Т /2? 6, 21 10-21 Дж. Приравнивая Е и выражение для энергии уровней частицы в яме, находим, что такаяэнергия соответствует квантовым числам порядка

Уже само по себе это число говорит, что мы находимся в области крайневысоких возбуждений, то есть в области справедливости классическихзаконов. Разность соседних уровней получаем, подставляя в формулудля Е найденное выражение для квантового числа п: