Прямоугольный барьер конечной ширины

Потенциальный барьер показан на рис. 30.6. Решение задачи можно вы-полнить стандартным образом, записывая суперпозицию плоских волндля каждой из трех областей 1, 2 и 3 и сшивая затем решения, чтобынайти амплитуды волн. Однако мы заменим такой рутинный способна классическое рассмотрение прохождения волн, что позволит выявитьфизический смысл получающегося результата.

Заметим прежде всего, что конечный барьер можно рассматриватькак наложение двух ступенчатых барьеров, расположенных в точках х = x0 и х = x0 + d. Это замечание дает возможность использовать ранееполученные формулы.

153

30.8. Оптическая аналогия прохождения частицы над барьером

Рис. 30.6: Прохождение частицы над конечным прямоугольным барьером.Процессэквивалентен многократным отражениям от барьера, показанного на рис.30.5.

Пусть квантовая волна с амплитудой, равной единице, движется слеванаправо и проникает в область над барьером в точке . Вследствиечастичного отражения ее амплитуда уменьшается и становится равной , где D 8 --- коэффициент прозрачности ступенчатого барьера. Далееона распространяется до точки х = + d, приобретая на пути сдвигфазы по сравнению с фазой свободной частицы в этойже точке. Здесь она волна снова встречается со ступенчатым барьером, и в результате ее амплитуда вновь уменьшается на множитель . Врезультате волна выйдет за барьер с амплитудой

Но мы учли только часть волны, выходящей наружу. Пришедшая вточку х = x0 + d волна частично отражается от нее (дополнительныймножитель в амплитуде), идет назад в точку x=x0, снова отража-ется там (множитель ), возвращается назад в точку х = x0 + d гдеи выходит наружу. Полный пройденный этой частью волны путь равен3 7, что дает сдвиг фазы .В результате эта часть волнывыйдет за барьер с амплитудой

.

Аналогичным образом происходят процессы с 2 п отражениями внутрибарьера, и каждый из них приводит к волне с амплитудой

.

Амплитуда Аr результирующей волны получается суммированием вы-ражения по всем га от нуля до бесконечности:

Глава 30. Уравнение Шредингера

Модуль амплитуды Аr прошедшей над барьером волны даст нам ко-эффициент прохождения D г:

Подставляя сюда квантовомеханическое выражение для R 8, полу-чаем:

Стандартное решение уравнения Шредингера дает в точности такой жерезультат. Переходя к оптике, заменяем R 8 на выражение и k2 ---на n/с. Получаем тогда коэффициент прозрачности образца конечнойтолщины d при нормальном падении света с частотой :

Это выражение также в точности воспроизводит результат волновойоптики.

Подобным образом можно рассмотреть отраженную от барьера волну, но результат нам уже известен: коэффициент отражения от конечногобарьера можно вычислить по формуле Rr = 1 --- Dr.

Изучая формулы и, мы обнаруживаем ``окна прозрач-ности'' при некоторых значениях частоты падающего света, когда Dr = 1, R 8 = 0, т.е. нет никакой отраженной волны. Это случается при т = 1, 2, 3,..., т.е. когда четное число полуволн (или це-лое число волн) света е среде укладывается в двойной ширине барьера: 2d = т 2. В обратном случае, когда двойная ширина барьера равнанечетному число полуволн (2d = (2т + 1) 2/2), мы приходим к мини-мальному значению коэффициента прозрачности:

В случае Е U 0 мы имеем дело с туннелированием --- частица ``дви-жется'' внутри барьера с ``мнимым'' волновым вектором

( 30. 52 )

30.8. Оптическая аналогия прохождения частицы над барьером

155

В этом случае тригонометрическая функция перейдет в гиперболическую , и из уравнения следует выражение длякоэффиц)иента прохождения:

Если, как это обычно бывает, аргумент, d то доминирует членс гиперболическим синусом, причем s . Пренебре-гая также пред экспоненциальными множителями, получаем уже знако-мое выражение: