Занятие 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В— попадание при втором выстреле, то А + В— попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В— несовместные, то

А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Произведением двух событий А и В называют событие А В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А —деталь годная, В— деталь окрашенная, то АВ— деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С— появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого (вероятность суммы событий), равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B) = P (A) + P (B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий:

P (A ₁+ A ₂+...+ A _n) = P (A ₁)+ P (A ₂)+...+ P (A _n).

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

P (A)=10/30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P (B)=5/30.

События А и В несовместны (появление одного шара исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P (A + B)= P (A)+ P (B)=1/3+1/6=1/2.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .

Попадание и промах при выстреле по цели — противоположные события. Если А — попадание, то — промах.

Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — противоположные.

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р ()=1.

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

р + q =1.

Пример 2. Вероятность того, что день будет дождливым, р =0, 7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q =1- р =1-0, 7 = 0, 3.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Например, если А – появление четырех очков при бросании игральной кости; В – появление четного числа очков, то события А и В – совместные.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А+В) = Р (А)+ Р (В)- Р (АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Условной вероятностью Р_А (В)называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_А (В) = Р (В).

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р (А) Р_А (В).

Замечание. Справедливо равенство

Р (А) Р_А (В) = Р (В) Р_В (А).

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились. В частности, для трех событий

Р (АВС) = Р (А) Р_А (В) Р_АВ (С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р (А)= 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

Р_А (В)= 4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый пар, а во втором — черный, т. е. условная вероятность

Р_АВ (С) = 3/10.

Искомая вероятность

Р (АВС) = Р (А) Р_А (В) Р_АВ (С) =

Для независимых событий теорема умножения

Р (АВ)= Р (А) Р_А (В)

имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 4. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А)равна 0, 8, а вторым (событие В) - 0, 7.

Решение. События А и В независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = .

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А ₁, А ₂, …, А_n независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий , , …, :

P (A)=1- q ₁ q ₂ … q_п.

Замечание. Если события А ₁, А ₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A)=1- q^п .

Пример 5. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р ₁=0, 8; р ₂=0, 7; р ₃=0, 9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А ₁ (попадание первого орудия), А ₂ (попадание второго орудия), А ₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А ₁, А ₂ и А ₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

q ₁=1- p ₁=1-0, 8=0, 2; q ₂=1- p ₂=1-0, 7=0, 3; q ₃=1- p ₃=1-0, 9=0, 1.

Искомая вероятность

P (A)=1- q ₁ q ₂ q ₃=1- =0, 994.