Занятие 5. Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии (появления одного из несовместных событий B ₁, В ₂, ..., В „, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …, события А. Как найти вероятность события А?

Теорема. Вероятность события А, которое может ступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B _1, В ₂,..., В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (А)= Р (В ₁) + Р (В ₂) +…+ Р (В_п) .

Этуформулу называют «формулой полной вероятности».

Пример. 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0, 8, а второго — 0, 9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь

стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В ₁), либо из второго (событие В ₂).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р (В ₁) = 1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р (В ₂)=1/2.

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, =0, 8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, = 0, 9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р (А) = Р (B₁) + Р (В ₂) = .

Пример. 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В ₁), либо нестандартная (событие В ₂).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, Р (В ₁)=9/10.

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа Р (В ₂)=1/10.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна =19/21.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна =18/21.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности, равна

Р (А) = Р (B ₁) + Р (В ₂) = (9/10)(9/21)+

+(1/10)(18/21)=0, 9.