Занятие 2. . Классическое определение вероятности. Относительная частота.

Пусть в результате испытания может произойти события А. Каждый из возможных результатов испытания, назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через и т. д.

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими эму событию. Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных сходов, образующих полную группу. Итак, вероятность бытия А определяется формулой

,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих А; п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности следует: вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W (A) =m/n,

где т — число появлений события, п — общее число испытаний.

Пример 1. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления нестандартных деталей

W (А)= 3/80.

Пример 2. По цели произвели 24 выстрела, причем было зареги­стрировано 19 попаданий. Относительная частота поражения цели

W (А) = 19/24.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 3. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования меся­цев, начиная с января): 0, 486; 0, 489; 0, 490; 0, 471; 0, 478; 0, 482; 0.462; 0, 484; 0, 485; 0, 491; 0, 482; 0, 473.

Относительная частота колеблется около числа 0, 482, которое можно принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Задачи для самостоятельного решения

1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет а) 6 очков, б) четное число очков?

Ответ. а) р = 1/6, б) р = 1/2.

2. Из колоды карт (36 листов) вынута одна. Найти вероятность того, что это а) бубновая дама, б) дама, в) карта пиковой масти.

Ответ. а) р = 1/36, б) р = 4/36, в) р = 1/4.

3. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков делится на 6.

Ответ. р = 6/36.

4. В записанном телефонном номере две последние цифры стерлись. Какова вероятность набрать номер правильно, если известно, что а) цифры были разные; б) цифры были одинаковые.

Ответ. а) р = 1/90, р = 1/10.

5. Из букв разрезной азбуки составлено слово «спорт». Буквы перемешали и сложили в произвольном порядке. Какова вероятность того, что снова получилось слово «спорт»?

Ответ. р = 1/120.

6. Из букв разрезной азбуки составлено слово «математика». Буквы перемешали и сложили в произвольном порядке. Какова вероятность того, что снова получилось слово «математика»?

Ответ. р = 1/151200.

7. Из пачки фотографий, в которой 7 цветных и 5 черно-белых, надо отдать 6. Найти вероятность того, что, что отдадут все черно белые фотографии?

Ответ. р = 1/132.

8. В группе из 20 студентов 5 девушек. Какова вероятность, что среди шести случайно назначенных дежурных будут две девушки.?

Ответ. р =

9. Из колоды в 52 карты наудачу извлекли четыре. Какова вероятность, что среди них окажется один туз.

Ответ. р ≈ 0, 256

10. На полке 10 книг, среди которых два тома в красных переплетах. Книги расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что книги в красных переплетах стоят рядом.

Ответ. р = 0, 2.

11. Десять гостей расселись за круглым столом. Какова вероятность, что Саша и Маша будут сидеть рядом?

Ответ. р = 2/9.

12. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что все тузы лежат подряд.

Ответ. р ≈ 0, 0006.

13. Колода из52 карт делится наугад на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по два туза.

Ответ. р ≈ 0, 011.

Занятие 3. Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

.

Пример 1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка попадет на отрезок CD длины . Искомая вероятность

.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g)

.

Площадь большого круга (фигуры G)

.

Искомая вероятность

.

Пример 3. (Задача о встрече)Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин и уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Решение. Обозначим момент прихода студента А через х, а студента В – через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно чтобы . Изобразим х и у как декартовы координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выборе одну минуту (рис. 1). Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50, а исходы, благоприятствующие встрече, - точками заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: