Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формулировки
Пусть будет эрмитовой матрицей размерности . Обозначим транспонированный вектор посредством , а сопряжённый транспонированный вектор — посредством . Матрица является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:
Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство может быть заменено на , а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные. Квадратичные формы Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть будет полем вещественных () или комплексных () чисел, а будет векторным пространством над . Эрмитова форма является билинейным отображением, притом числом, сопряженным , будет . Такая функция называется положительно определённой, когда для любого ненулевого . 62.. Критерий Сильвестра определяет, является ли квадратная матрица положительно (отрицательно) определённой. Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу . Тогда эта форма положительно определенна, если и только если все её угловые миноры положительны, и отрицательно определенна, если и только если их знаки чередуются, причём .< 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны. . Доказательство критерия Сильвестра основанно на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. 63.. Квадратная матрица называется ортогональной матрицей, если её столбцы образуют ортонормированную систему векторов пространства арифметических векторов соответствующей размерности. Строки ортогональной матрицы также образуют ортонормированную систему векторов. Матрица H ортогональна тогда и только тогда, когда HT·H = H·HT = E, E — единичная матрица. 64..
|