💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Теорема (про сферу, вписану в піраміду).

У будь-якої трикутної піраміди існує єдина вписана сфера.

Примітка. Будь-який конус також має описану й вписану сферу. Циліндр завжди має описану сферу. Але вписати сферу можна не в довільний циліндр, а лише в циліндр із квадратним осьовим перерізом.

Тест №1

1.Дано куб . Укажіть точку, яка належить площині ().

Відповідь: 4.

2.У просторі дано точку А і пряму b. Скільки існує різних прямих, які проходять через точку А і НЕ ПЕРЕТИНАЮТЬ пряму b?

Відповідь: 5.

3.Скільки прямих перетину можуть мати три різні площини α, β і γ?

Відповідь: 1.

4.З точки А до площини π проведено дві похилі AB = 30 і AC = 40. Знайдіть відстань від точки А до площини π, якщо довжини проекцій цих похилих відносяться як 9: 16.

Відповідь: 24.

5.У правильному многограннику 12 ребер і 8 вершин. Скільки в ньому граней?

Відповідь: 2.

6.Яку найменшу кількість граней може мати піраміда?

Відповідь: 2.

7.Укажіть НЕПРАВИЛЬНЕ твердження.

Відповідь: В.

8.Із n однакових маленьких кубиків склали великий куб. Укажіть число, яке може бути значенням n.

Відповідь: 2.

9.Установіть відповідність між рисунками (1-4), на яких зображені розгортки многогранників, і цими многогранниками (А-Д).

А. Трикутна піраміда

Б. Трикутна призма

В. Чотирикутна піраміда

Г. Чотирикутна призма

Д. Шестикутна піраміда

Відповідь: 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г.

10.У піраміді MPQS (M - вершина піраміди) ребро MQ є висотою, PQ=15, QS=13, PS=4. Знайдіть об’єм піраміди, якщо відстань від точки M до ребра дорівнює 37.

Відповідь: 280.

11.Які геометричні фігури НЕ МОЖНА отримати як перерізи циліндра?

Відповідь: 1.

12.Які геометричні фігури НЕ МОЖНА отримати як перерізи конуса?

Відповідь: 2.

13.Прямокутники, зображені на рисунках, обертають навколо виділених осей. Укажіть рисунок, який відповідає тілу обертання з НАЙМЕНШОЮ площею бічної поверхні.

Відповідь: 2.

14.Прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 6 см, а один із гострих кутів дорівнює 30°, обертається навколо більшого катета. Знайдіть висоту конуса, утвореного внаслідок цього обертання.

см	3 см	см	6 см	12 см

Відповідь: 3.

15.Виразіть об’єм циліндра V через радіус його основи R, якщо висота цього циліндра вдвічі більша за радіус його основи.

Відповідь: 4.

16.Круг, площа якого дорівнює а, обертається навколо свого діаметра. Знайдіть площу сфери, яка обмежує кулю, утворену внаслідок цього обертання.

Відповідь: 5.

17.Уявіть, що у вас є 5 видів фужерів: А, Б, В, Г, Д, кожний із яких має форму конуса з радіусом основи R та висотою h. Укажіть вид фужерів, які потрібно поставити на святковий стіл, якщо ви прагнете, наповнивши їх ущерть, налити в них ЯКНАЙБІЛЬШЕ рідини.

Відповідь: 1.

18.У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму – інший циліндр. Знайдіть відношення об’єму меншого циліндра до об’єму більшого циліндра.

Відповідь: 2.

19.Установіть відповідність між плоскими фігурами (1-4) і тілами (А-Д), які утворені внаслідок обертання цих плоских фігур навколо прямих, що зображені пунктиром.

Відповідь: 1 – Г; 2 – Д; 3 – А; 4 – Б.

20.На рисунку зображено розгортку поверхні многогранника, яка складається з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників. Довжини суміжних сторін прямокутників дорівнюють 4 і 9. Знайдіть площу повної поверхні цього многогранника.

Відповідь: 306.

Тест №2

1.На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед. Яке взаємне розташування прямих і ?

Відповідь: 2.

2.Якщо дві суміжні сторони трапеції паралельні площині іншої трапеції, то площини цих трапецій…

Відповідь: 2.

3.Якщо одна з двох площин перпендикулярна прямій, а інша площина паралельна цій прямій, то ці площини…

Відповідь: 1.

4.Точка S, яка не лежить в площині прямокутника з діагоналлю 10 см, віддалена від кожної з його вершин на 6 см. Відстань від точки S до площини прямокутника дорівнює…

см	см	см	см	Інша відповідь

Відповідь: 2.

5.З точки S, яка знаходиться на відстані а від площини, проведені дві похилі, які утворюють з площиною кути в 45°, а між собою - в 60°. Відстань між кінцями похилих дорівнює…

см	см	см	см	Інша відповідь

Відповідь: 3.

6.Величина двугранного кута при бічному ребрі правильної п’ятикутної призми дорівнює…

Відповідь: 3.

7.Перетином правильної трикутної призми не може бути…

Відповідь: 4.

8.В скільки разів треба збільшити ребра прямокутного паралелепіпеда, щоб його об’єм збільшився в два рази?

В 8	В 2	В	В	Інша відповідь

Відповідь: 4.

9.Кут між висотою й апофемою правильної чотирикутної піраміди, в якій висота вдвічі коротша сторони основи, дорівнює…

Відповідь: 3.

10.Площа перетину кулі радіуса 5 см площиною, яка знаходиться на відстані 4 см від центру, дорівнює…

				Інша відповідь

Відповідь: 2.

11.Обчисліть об’єм піраміди, основою якої є ромб із діагоналями 5 і 12, а висота цієї піраміди дорівнює 14.

Відповідь: 20.

12.Точка лежить на площині, яка дотикається до кулі радіуса 1 см, на відстані 1 см від точки дотику. Відстань від цієї точки до центру кулі дорівнює…

см	1 см	см	см	2 см

Відповідь: 1.

13.Діаметр основи прямого кругового циліндра дорівнює 2 м. Деяка площина віддалена від осьового перетину прямого кругового циліндра на відстань 1, 5 м і паралельна йому. Як розташовані циліндр і площина?

Відповідь: 1.

14.Осьовим перетином циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює см. Об’єм циліндра дорівнює…

				Інша відповідь

Відповідь: 3.

15.Висота прямого кругового конуса дорівнює діаметру основи. Відношення площі його основи до площі бічної поверхні дорівнює…

Відповідь: 2.

16.Два кола і …

Відповідь: 3.

17.Точка К рівновіддалена від усіх вершин трикутника зі сторонами 5 см, 12 см і 13 см і знаходиться на відстані см від площини цього трикутника. Знайдіть відстань від точки К до кожної з вершин даного трикутника.

Відповідь: 9, 5.

18.У правильній зрізаній чотирикутній піраміді діагоналі більшої та меншої основ дорівнюють 3 см і 1 см відповідно, а двогранні кути при меншій основі дорівнюють 120°. Знайдіть площу бічної поверхні цієї зрізаної піраміди.

Відповідь: 8.

19.З паперу вирізано круговий сектор радіуса 18 з центральним кутом 240°. З цього сектора без перекриттів згорнуто конус. Знайдіть радіус основи цього конуса.

Відповідь: 12.

20.У правильну чотирикутну призму з висотою і стороною вписано циліндр. У цей циліндр вписано правильну чотирикутну призму, в яку знову вписано циліндр, і т.д. Знайдіть суму об’ємів усіх призм, які при цьому утворилися.

Відповідь: 32.

Тест №3

1.Скільки існує площин, які паралельні даній прямій і які проходять через дану точку?

Підказка

Зверніть увагу на те, що відповідь не залежить від взаємного розташування даних прямої та точки

Розв’язок

1 випадок 2 випадок

точка

Відповідь: В.

2.Пряма а лежить у площині β, а пряма m паралельна прямій а та має спільну точку з площиною β. Яке взаємне розташування прямої m та площини β?

Підказка

Скористайтеся тим, що паралельні прямі a і m визначають площину

Розв’язок

Якщо пряма має спільну точку з площиною, то вона або перетинає її, або належить їй. Так як пряма має спільну точку з площиною і є паралельною прямій, яка належить площині, то ця пряма теж належить площині.

Відповідь: А.

3.Скільки площин проходять через дану точку простору перпендикулярно до даної прямої?

Підказка

Зверніть увагу на те, що відповідь не залежить від взаємного розташування даної точки та даної прямої

Розв’язок

1 випадок 2 випадок

Точка

Відповідь: Б.

4.Скільки площин, які перпендикулярні даній площині, проходять через пряму, яка не є перпендикулярною до даної площини?

А	Б	В	Г	Д
Нескінченно багато	Жодної	Одна	Дві	Одна або жодної

Підказка

Зверніть увагу на те, що площина, яка перпендикулярна до даної площини і яка проходить через пряму l, яка не перпендикулярна до даної площини, проходить через пряму m, яка перпендикулярна площині α і яка проходить через точку перетину даної прямої l та даної площини α

Розв’язок

Площина β, яка проходить через пряму l, що не є перпендикулярною до даної площини α, також проходить через пряму m, перпендикулярною до площини α і проходить через точку перетину прямої l і площини α, то така площина – єдина.

Відповідь: В.

5.Дано куб . Чому дорівнює кут між прямими та ?

А	Б	В	Г	Д
90°	60°	45°	30°	15°

Підказка

Зверніть увагу на вид трикутника

Розв’язок

Квадрат дорівнює квадрату й дорівнює квадрату , так як куб. - діагоналі квадратів. Отже трикутник

рівносторонній. .

Відповідь: Б.

6.Точка S, яка не лежить в площині прямокутника з діагоналлю 10 см віддалена від кожної з його вершин на 6 см. Відстань від точки S до площини прямокутника дорівнює…

А	Б	В	Г	Д
8 см	см	см	4 см	12 см

Підказка

Визначте розташування ортогональної проекції точки S на площину прямокутника, використовуючи те, що проекція точки S співпадає з центром кола, описаного навколо прямокутника

Розв’язок

Трикутник – прямокутний, так як – висота. . За теоремою Піфагора:

; см

см

см.

Відповідь: Б.

7.Об’єм правильної трикутної призми дорівнює 8 , висота основи – 2 см. Площа бічною поверхні призми дорівнює…

А	Б	В	Г	Д
6	12	36	24	Інша відповідь

Підказка

Скористайтеся тим, що добуток сторони основи призми на її висоту використовується для обчислення і об’єму прямої призми і площі її бічної поверхні

Розв’язок

; ; од.кв.

; ; ; .

Відповідь: Г.

8.Перетином правильної трикутної призми не може бути…

А	Б	В	Г	Д
Правильний трикутник	Трапеція	Прямокутник	Шестикутник	Інша відповідь

Підказка

Зверніть увагу на те, що у трикутної призми п’ять граней

Розв’язок

Перетином однієї площини з п’ятьма гранями трикутної призми не може бути шестикутник

Відповідь: Г.

9.Діагональ куба дорівнює 6 см. Чому дорівнює ребро цього куба?

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	2 см	11 см

Підказка

Скористайтеся просторовою теоремою Піфагора

Розв’язок

Скористаємось формулою:

Так як – куб, то

; ; ; см.

Відповідь: А.

10.Як зміниться об’єм правильної піраміди, якщо її висоту збільшити в 3 рази, а сторону основи зменшити в 3 рази?

А	Б	В	Г	Д
Збільшиться в 3 рази	Не зміниться	Зменшиться в 3 рази	Зменшиться в 9 разів	Збільшиться в 9 разів

Підказка

Використайте те, що при зменшенні (збільшенні) сторін правильного многокутника в k разів отримаємо правильний многокутник, подібний даному, з коефіцієнтом подібності к. тому площа його в разів менше (більше) площі вихідного многокутника

Розв’язок

; ;

;

Відповідь: В.

11.Вершина трикутної піраміди, основою якої є прямокутний трикутник з катетами 1 см і 2 см, віддалена від вершин основи на 1, 5 см. Чому дорівнює висота піраміди?

А	Б	В	Г	Д
	1 см			5 см

Підказка

Зверніть увагу на те, що ортогональною проекцією вершини даної піраміди є центр кола, яке описане навколо основи

Розв’язок

SB = SC = SA = 1, 5 см, основою висоти є центр кола, описаного навколо трикутника. Трикутник АВС – прямокутний, центр описаного кола лежить на середині гіпотенузи.

З : ; ; .

З : .

Відповідь: Б.

12.Через середини ребер SA і SC правильного тетраедра SABC проведена площина, яка паралельна ребру BS. В перетині отримали…

А	Б	В	Г	Д
Правильний трикутник	Ромб	Рівнобедрений трикутник	Рівнобічна трапеція	Інша відповідь

Підказка

Скористайтеся тим, що шукана площина проходить паралельно одному з бічних ребер, тому дві сторони перерізу вже паралельні

Розв’язок

Так як SABC – правильний тетраедр, то KN = LM як середні ліній рівних трикутників SAC та АВС. Аналогічно NM = KL. Звідси випливає, що KN = LM = NM = KL як середні лінії рівних трикутників ⇒ KLMN – ромб.

Відповідь: Б.

13.Діаметри двох куль 25 і 29 см, а відстань між їх центрами дорівнює 36 см. Ці кулі…

А	Б	В	Г	Д
Дотикаються	Не мають спільних точок	Перетинаються	Довільно розташовані	Інша відповідь

Підказка

Порівняйте відстань між центрами куль і суму їх радіусів

Розв’язок

Радіус першої кулі дорівнює 12, 5 см, а радіус другої кулі дорівнює 14, 5. Якщо б кулі дотикались, то відстань між їх центрами дорівнювала 12, 5 + 14, 5 = 27 см. Але, так як відстань між центрами двох куль дорівнює 36 см, то ці кулі не мають спільних точок.

Відповідь: Б.

14.В скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо його радіус збільшити в 2 рази?

А	Б	В	Г	Д
В 2	В 4	В 8	В 16	В 32

Підказка

Скористайтеся формулою для обчислення об’єму кулі

Розв’язок

Об’єм кулі дорівнює:

Збільшимо в 2 рази радіус та отримаємо:

Відповідь: В.

15.Осьовим перерізом циліндра є квадрат, діагональ якого дорівнює см. Чому дорівнює об’єм циліндра?

А	Б	В	Г	Д
				Інша відповідь

Підказка

Зверніть увагу на те, що сторонами осьового перетину циліндра є діаметр основи й твірна циліндра, довжина якої дорівнює висоті циліндра

Розв’язок

; ; ; ; ;

; ; .

Відповідь: В.

16.В скільки разів треба зменшити радіус основи прямого кругового циліндра, не змінюючи його висоти, щоб його об’єм зменшився втричі?

А	Б	В	Г	Д
В 3 рази	В 9 разів	В разів	В разів	В 2 рази

Підказка

Скористайтеся тим, що в формулу для обчислення об’єму циліндра радіус його основи входить в другому степеню

Розв’язок

; ;

Таким чином радіус основи прямого кругового циліндра треба зменшити у разів.

Відповідь: В.

17.Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник. Радіус основи конуса дорівнює 6 см. Чому дорівнює площа осьового перетину конуса?

А	Б	В	Г	Д
9	12	18	36	Інша відповідь

Підказка

Скористайтеся тим, що осьовим перетином конуса є рівнобедрений прямокутний трикутник

Розв’язок

Розглянемо переріз конуса:

З – як твірні конуса, отже трикутник – рівнобедрений. . ВА – висота трикутника СВК. Так як трикутник СВК рівнобедрений, вона також є медіаною. Отже СК = СА+АК = 12. За теоремою Піфагора з трикутника СВК: ; ; . ; .

Відповідь: Г.

18.Твірна прямого кругового конуса дорівнює 6 см, площа його бічної поверхні дорівнює . Чому дорівнює висота конуса?

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	1 см

Підказка

Спочатку знайдіть радіус основи конуса

Розв’язок

; ; см.

С : ; ; см.

Відповідь: В.

19.Радіус основи прямого кругового конуса дорівнює 2 см, а його об’єм дорівнює . Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом…

А	Б	В	Г	Д
				Інша відповідь

Підказка

Спочатку знайдіть висоту конуса

Розв’язок

; ; ;

;

.

Відповідь: В.

20.Куча каміння має форму прямого кругового конуса з довжиною кола основи 18 м й твірною 5 м. Об’єм кучі каміння приблизно дорівнює… (оберіть найбільш точний результат)

А	Б	В	Г	Д
20	35	70	55	Інша відповідь

Підказка

Скористайтеся формулою для обчислення об’єму прямого кругового конуса:

, де – радіус основи, – висота конуса

Розв’язок

; ; ;

; ;

.

Відповідь: Б.