Операторы рождения и уничтожения фононов

В рамках модели гармонического кристалла нельзя объяснить некоторые экспериментальные факты, такие как тепловое расширение кристалла, конечное значение коэффициента теплопроводности, зависимость упругих постоянных кристалла от давления и температуры. Серьезным доказательством наличия ангармонических эффектов являются также эксперименты, указывающие на наличие взаимодействия между фононами, в результате чего появляется новый фонон.

Процесс рождения и уничтожения фононов удобно представить с помощью квантовомеханических операторов рождения и уничтожения, действующих на функцию состояния системы. Гамильтониан одиночного гармонического осциллятора, записанный через сопряженные координату x и импульс p, имеет следующий вид:

.

Сопряженные операторы координаты x и импульса p подчиняются соотношению коммутации (скобки Пуассона) такого типа [ x, p ] = –iћ.

Можно выбрать новые операторы рождения a⁺ и уничтожения а возбуждения, введенные как линейные комбинации операторов координаты и импульса с помощью простого преобразования:

.

Коммутационные соотношения для этих операторов проще и имеют вид [ a, a⁺ ] = 1. Выражая теперь H через эти операторы, получаем

.

Таким образом, гамильтониан имеет вид

.

Квантовые свойства системы определены этим гамильтонианом и операторами рождения а⁺ и уничтожения a возбуждения. Поскольку произведение вида а⁺а встречается довольно часто и играет важную роль, часто определяют оператор:

Х=а⁺а.

Скобки Пуассона оператора Х с операторами a и a⁺ выглядят так:

[ Х, а ] = Ха–аХ = а⁺аа–аа⁺а = (а⁺а–аа⁺) а = – а.

Аналогично находим, что [ Х, a⁺ ] = a⁺.

Как легко видеть из выражения для гамильтониана, его собственные значения определяются собственными значениями оператора Х=а⁺а. Эти собственные значения – целые положительные числа, поскольку решение для гармонического осциллятора хорошо известно. Пусть собственные вектора или волновые функции Y (собственные состояния) обозначаются по Дираку как | >. Это – " кет-вектор". Вектор, комплексно сопряженный кет-вектору, т.е. Y* записывается < | и называется " бра-вектор". Запись < |A|> означает интеграл вида

и называется " бра-кет". Это удобные обозначения для работы с операторами рождения и уничтожения возбуждений. Для оператора Х=а⁺а

можно написать

Х | > = n | >.

Здесь n – натуральное положительное число. Легко проверить, что действие операторов Ха и Хa⁺ на состояние | > дает

Ха|> =а (Х– 1) |> = а (n– 1) |> = (n– 1) а|>; Ха⁺|> = (n+ 1) a⁺|>.

Поэтому а | > и a ⁺ | > можно рассматривать как собственные состояния оператора Х, имеющие собственные значения n– 1 и n+ 1 соответственно. Тогда, если рассматривать наинизшее состояние |0>, то собственному состоянию a ⁺ |0>, согласно написанному уравнению, соответствует собственное значение n= 1. Следовательно, состояние a ⁺ |0> можно записать так:

a⁺| 0 > =| 1 > const.

Повторяя этот процесс n раз, получим:

a⁺|n> =|n+ 1 > const.

Аналогично, действие оператора а на систему выглядит так:

а|n> =|n– 1 > const.

Константы, входящие в эти выражения, можно получить, так что действие операторов рождения и уничтожения возбуждения выглядит следующим образом:

a⁺|n > = (n +1)^1/2| n +1>

a | n > =(n)^1/2| n– 1>

Таким образом, действие оператора a ⁺ переводит систему в ближайшее более высокое состояние. Отсюда термин " оператор рождения". Оператор a, действуя на собственное состояние системы, переводит ее в ближайшее более низкое состояние; отсюда термин " оператор уничтожения".