Отсюда следует, что

,

что, очевидно, удовлетворяется при

.

При подстановке этого выражения в первое уравнение движения получим уравнение:

,

в котором можно разделить независимые выражения для соленоидальной W_t (divw_t= 0) и потенциальной w_l (divw_l¹ 0)составляющей смещений.

Решение второго уравнения действительно дает, что коэффициент –b ₁₁ в уравнении равен квадрату поперечной оптической частоты –b ₁₁ =w_TO ². Первое уравнение дает при этом связь между частотой поперечного и продольного оптического колебания.

Эта связь дается выражением:

.

Последнее соотношение называется соотношением Лиддейна-Сакса-Теллера (LST).

Смысл полученного результата состоит в том, что при наличии зарядов на колеблющихся частицах при оптических колебаниях кристалл происходит изменение поляризации среды, и поэтому колебания можно разделить на продольные и поперечные (относительно вектора поляризации), причем для k » 0 имеет место соотношение Лиддейна-Сакса-Теллера. Существует два предельных случая, когда в двухатомном кристалле заряды на атомах одинаковы и когда они сильно различаются.

A. Гомополярный кристалл – типичный представитель алмаз.

Атомы кристалла алмаза нейтральны и поэтому e_o=e_¥ =n ², а w_LO=w_TO. При движении атомов в кристалле не возникает кулоновского электрического поля, и возвращающая сила одинакова как для продольного, так и для поперечного смещения частиц. Поэтому и частоты продольных и поперечных волн одинаковы.

B. Ионный кристалл – типичным представителем является кристалл хлористого натрия – NaCl. В нем e_o= 5.62, e_¥ = 2.25 и w_LO> w_TO. Физическая причина различия частот в том, что при продольных колебаниях заряженных частиц возникает электрическое поле вдоль вектора k, которое увеличивает возвращающую силу, действующую на ион. Поэтому частота продольной волны становится выше. Поперечная волна вообще не создает электрического поля поскольк для нее div w _t= 0, а значит не происходит макроскопического изменения объема среды и, следовательно, изменения макроскопического объемного заряда.

Справедливость соотношения LST подтверждается рядом экспериментальных фактов, некоторые из которых приведены в таблице.

Таблица 8.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ СООТНОШЕНИЯ ЛИДДЕЙНА-САКСА-ТЕЛЛЕРА

ЧАСТОТЫ (в см^–1) ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ В НЕКОТОРЫХ КРИСТАЛЛАХ

Соотношение LST справедливо для k»0, ибо в выводе предполагалось наличие однородности поляризации кристалла на протяжении многих элементарных ячеек, чтобы воспользоваться макроскопическим описанием.

При больших k эти выводы не справедливы, но продольное длинноволновое кулоновское поле должно сказываться на поведении ветвей и внутри зоны Бриллюэна. В частности, теоретические соображения показывают, что даже в почти гомополярных кристаллах ветви LO и TO, вырожденные для k = 0, могут расщепляться при k ®p/a. Важную роль в величине расщепления играет эффективный заряд иона Z (собственный, плюс индуцированный). Величина e_о–e_¥ связана с величиной этого заряда Z формулой Сцигетти:

,

где V – объем элементарной ячейки, а M – ее приведенная масса. Чем больше ионность соединения, тем больше величина эффективного заряда Z. Например, для полупроводникового кристалла ZnS эффективный заряд равен Z =(0.32±0.16) e от заряда электрона, что указывает на частично ионный, частично ковалентный характер связи в нем.

Рис. 38. Зависимость поведения продольных LO и поперечных TO ветвей в зоне Бриллюэна от величины e_эфф эффективного заряда на атомах двухатомного кристалла: 1 - e_эфф= 0; 2 - e_эфф< 0 .7e; 3 - e_эфф~ 0 .7e; 4 - e_эфф> 0 .7e.

Поведение оптических ветвей в зоне Бриллюэна в зависимости от эффективного заряда схематически показано на рис. 38. При увеличении степени ионности двухкомпонентного соединения увеличивается величина LO-TO расщепления в центре зоны Бриллюэна. При этом увеличивается величина расщепления частот между акустическими и оптическими ветвями на границе зоны Бриллюэна, поскольку увеличение степени ионности должно сопровождаться возрастанием разницы масс между различными атомами (необходимо брать атомы, отстоящие дальше друг от друга в таблице Менделеева). Эти общие закономерности подтверждаются экспериментально и демонстрируются на рис. 38 и рис. 39.

Соотношение LST w_LO= (e_о/e_¥ )^1/2 w_TO, полученное для кубического кристалла, когда есть одна оптическая инфракрасная (ИК) активная мода, можно распространить на кристаллы, имеющие большее число оптических ветвей. Подобное обобщение можно сделать и для кристаллов более низкой симметрии. В общем случае s частиц в элементарной ячейке кристалле будет 3 s ветвей. Из них 3 ветви – акустические, 3 s– 3 – оптические. Среди этих оптических ветвей 2(s– 1) – поперечные и (s– 1) – продольные. Однако, отличие частот поперечных и продольных колебаний (TO-LO расщепление) будет только для ИК активных колебаний. высокочастотная диэлектрическая проницаемость, равная квадрату показателя преломления n ².

Рис. 39 Зависимость частот LO и TO ветвей для разных точек зоны Бриллюэна, полученных из экспериментов в бинарных кристаллах группы А_IIB_УI: a)– зависимость величины LO-TO расщепления в центре зоны Бриллюэна (Г-точка) от величины эффективного заряда на атомах; б) – зависимость отношения LO-TO частот на границе зоны от атомного номера Z для бинарных соединений; в) – отношение частот LO-TO колебаний на границе зоны в зависимости от соотношения масс m ₁ /m ₂. Нужно иметь ввиду, что на границе зоны Бриллюэна в акустических колебаниях покоятся легкие атомы, а тяжелые колеблются; в оптических колебаниях покоятся тяжелые атомы, а колеблются легкие.

Обобщенное соотношение Лиддейна, Сакса, Теллера для кристаллов не кубической сингонии выглядит так:

.

Здесь e_о – статическая диэлектрическая проницаемость кристалла, а e_¥ – акустических колебаниях покоятся легкие атомы, а тяжелые колеблются; в оптических колебаниях покоятся тяжелые атомы, а колеблются легкие.

Для анизотропных кристаллов с симметрией выше орторомбической диэлектрическая проницаемость представляется тензором с элементами e_xx, e_yy, e_zz, причем оси тензора совпадают с кристаллографическими направлениями в кристалле. Тогда для каждого направления можно ввести LO и TO колебания, для которых выполнено

.

5.4. Реальные состояния. Эффект " запаздывания". Поляритон

При рассмотрении длинноволновых оптических колебаний кристалла делалось неявное допущение, что скорость распространения электрического поля, возникающего при колебаниях зарядов и действующего на эти заряды, бесконечно велика, т.е. c=¥. На самом деле, скорость распространения электромагнитного взаимодействия конечна, тем более в области оптических частот, где n> 1. Она может быть сравнима с групповой скоростью распространения упругих волн. В таком случае колебания ионов кристалла вызывает поле, которое воздействует на колебания решетки не мгновенно, но с запаздыванием. Для учета этого эффекта к уравнениям движения необходимо добавить уравнения Максвелла:

Уравнения Максвелла написаны для немагнитной среды (m= 1), и в случае отсутствия свободных зарядов.

Если механические колебания решетки и электромагнитное поле, описываемое уравнениями Максвелла, независимы друг от друга, дисперсионные зависимости механических движений и электромагнитного поля друг с другом никак не связаны, и дисперсионное уравнение для электромагнитного поля в кристалле будет иметь вид: w=ck/e ^{1 / 2} (см. рис 40.). Правда, здесь неясно, какую диэлектрическую проницаемость использовать – e_o или e_¥ . Однако, если ионные движения и электромагнитное поле связаны (как это имеет место в уравнениях (*), то дисперсионная зависимость окажется сложнее, поскольку необходимо рассматривать одновременно механические колебания и электромагнитную волну при учете их взаимодействия, т.е. решить систему уравнений (*). Будем рассматривать решения лишь в области малых значений волнового вектора k и искать решения системы в виде плоских волн:

Подстановка этих решений в систему c уравнениями Максвелла дает:

Поле E не равно нулю. В противном случае из условий [ k, Е ] = w/c H магнитное поле H =0; из [ k, H ] = –w/c (E + 4 p P) следует, что поляризация P = 0; а из первого уравнения следует, что при этих условиях смещения W равны нулю w = 0. Это тривиальный случай.