Первые два уравнения, как известно, дают

.

Поскольку D = E + 4 p P = e E, то

.

Далее, используя условие поперечности поля смещения D, (k, D) = 0, получим уравнение:

,

которое имеет два решения: 1. – e = 0и 2. – (k, E) = 0.

1 решение: e = 0; D = 0; и E + 4 p P = 0. Кроме того [ k, H ] =–w/c (E + 4 p P) = 0 и (k, H) = 0. Равенство нулю одновременно векторного и скалярного произведения означает, что магнитное поле H равно нулю H = 0. Однако, электрическое поле в волне нулю не равно E = – 4 p P, так что вектора E, k, P и w параллельны друг другу: E ║ k, P ║ E, и w ║ P. Это продольная волна, частота которой определяется равенством нулю диэлектрической проницаемости e и соотношением LST:

.

Эта та же самая волна, которая была получена ранее. Запаздывание на ее поведение не влияет (рис. 40).

2 решение: (k, E) = 0, но E = 0, значит E ^ k. Кроме того [ k, E ] =w/c H, поэтому три вектора k, E, H ортогональны друг другу, и в выражениях для скалярного и векторного произведения можно опустить и квадратные [ ] и круглые () скобки:

.

Исключая магнитное поле из эти выражений, получим дисперсионное соотношение:

.

Это квадратное уравнение относительно частоты. Дисперсионная зависимость для поперечной ветви также показана на рис. 40. Каждому значению волнового вектора k соответствует две волны с различными частотами.

Рис. 40. Поляритонные кривые. а) Схема дисперсионных зависимостей механических колебаний решетки (LO и TO ветви) и электромагнитного поля с дисперсией w=ck; 1 – продольная оптическая ветвь, 2 – нижняя и верхняя поляритонная ветви. Таким образом, для каждого волнового вектора в кристалле в данном направлении могут распространяться не две, а три волны, две из которых имеют всегда большой вес механической составляющей, а одна близка по виду к электромагнитной волне. По мере увеличения волнового вектора вклады механической и электромагнитной составляющих в каждой из волн меняются, а в области пересечения идеальных дисперсионных кривых смешивание этих волн максимально, что позволяет рассматривать такое возбуждение как поляритон. б) Используемые в теории приближения при рассмотрении поляритона: I – чисто механическое приближение, рассматривающее колеблющиеся атомы как точечные массы без заряда (механический экситон), II – кулоновское приближение, в котором учтены заряды на колеблющихся атомах, что приводит к появлению продольного полю поляризации и расщеплению частот с k » 0 на продольные и поперечные колебания даже для кубических кристаллов (кулоновский экситон), III – реальное возбуждение в кристалле, учитывающее запаздывающее взаимодействие электрического поля на колебания заряженных частиц вследствие конечности скорости распространения света (поляритон).

При k = 0 имеется два решения с частотами w ₁ = 0 и w=w_LO. При k ®¥ решения соответствуют частотам w ₁ ®w_TO и w®ck/e_¥ ^1/2. При k ®¥ две асимптоты (1) и (2) имеют вид ck/e_¥ ^1/2 и ck/e_о ^1/2. В области частот между продольной LO и поперечной TO частотой решений системы уравнений механических движений и электромагнитного поля не существует, т.е. электромагнитные волны с такими частотами не могут распространяться в кристалле. Процент механической энергии в поперечной ветви меняется в зависимости от величины волнового вектора k (рис.41).

Рис. 41. Процент механической энергии в реальном возбуждении кристалла (в поляритоне) в зависимости от величины волнового вектора k.

При малых волновых векторах нижняя ветвь b представляет собой в основном поперечное электромагнитное колебание, и по мере увеличения k процент механической энергии в колебании этого типа растет, а частота приближается к частоте поперечной механической волны. В верхней ветви a, наоборот, при малых k волна представляет на 7 0 % механическое возбуждение с частотой вблизи w_LO, а при больших значения вектора k это в основном поперечная электромагнитная волна с дисперсионной зависимостью (ck/w)² =e_¥ ..

Таким образом, реальное возбуждение в кристаллической решетке представляет собой смешанное механическое и электромагнитное возбуждение, которое называется поляритоном, а каждому значению волнового вектора в кристалле соответствует три волны: одна продольная механическая волна и две смешанные поперечные волны с различным значением механических и электромагнитных вкладов.