Области распространения и затухания

Дисперсионные соотношения для одноатомной одномерной цепочки известны. Частоты возможных собственных (незатухающих) мод определяются формулой

,

где волновой вектор k задан в зоне Бриллюэна.

Для цепочки конечных размеров обычно используют циклические граничные условия Борна-Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:

u_n=A exp [ i (w t+nak)] = Aexp [ i (w t+ (n+N) ak)] = u_n+N,

exp [ iNka ]=1; Nka= 2 p p; p=0, 1, 2 ...N– 1;

–p /a < k=p 2 p /Na < +p /a; –N/ 2 < p < +N/ 2.

Таким образом, в кристалле, имеющим N элементарных ячеек, может существовать лишь N различных собственных частот (фононов). Вид дисперсионных зависимостей как функции от волновых векторов показан на рис. 48.

Так как дисперсионная зависимость w (k) периодична по k с периодом 2 p/a, область изменения волнового вектора k также периодична и выбирается симметричной от – p / a до + p / a, чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область, как известно, носит название первой зоны Бриллюэна.

Рис. 48. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость w (k) для линейной моноатомной цепочки. в) физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2π /λ, где λ =am – длина волны возбуждения.

Таким образом, максимальная частота собственных колебаний системы не может превышать величину w_max= (4 β / m)^1/2. Волны с частотами w > w_max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/ 2) > 1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k=k+ia:

.

Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/ 2) =0 и k=p /a, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом a волны (рис. 49):

.

Для малых волновых векторов k ~0 (2 p/λ) движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka< < 1). При увеличении волнового вектора до значения p / a, соответствующего границе зоны Бриллюэна, частота принимает значение w_max= (4 β / m)^1/2, а на более высоких частотах волновой вектор становится комплексным k = p / a + ia, причем действительная его часть равна p / a. На графике дисперсионной зависимости (рис. 51) комплексное значение волнового вектора удобно откладывать по оси k за значением p / a, соответствующем границе зоны Бриллюэна, подчеркивая этим, что действительная его часть равна p / a.

Рис. 49. Колебания моноатомной цепочки с частотами выше максимальной. Вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами w²> > w²_max= 4 b/m, [ w= 4 b/m^. sin(ka/ 2)], где k =p / a + ia – комплексная величина.Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: u_n=A× exp [ i (w× t+an/p a)] × exp (–aa n). Это показано на рисунке.

В бесконечной одномерой цепочке, элементарная ячейка которой содержит 2 частицы (см. главу 4), существуют две ветви – акустическая и оптическая. Трехмерным аналогом такой модели могут быть кристаллы NaCl, KBr и др. Если ввести постоянную решетки a=a'/ 2, где a' – расстояние между соседними атомами, массу частиц – m ₁ > m ₂, упругие силовые постоянные – b ₁ =b ₂ =b, то связь между частотой возбуждения w и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного соотношения, выглядит так:

.

Здесь волновой вектор k принимает ряд значений в соответствии в граничными условиями задачи. Дисперсионное условие имеет два корня w ₁, w ₂, так что каждому значению волнового вектора k соответствует две волны. Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +).

Значения частот при k= 0 и на границе зоны Бриллюэна (k=p/a) и дисперсивные и реактивные области волн в цепочке просто получить. Для акустических колебаний дисперсивная область – это область от w_a^min= 0 до w_а^max= (2 b/m ₁)^{1 / 2}, а для оптических это область от w_o^min= (2 b/m ₂)^{1 / 2} до значения w_o^max= (2 b (1 /m ₁ + 1 /m ₂))^{1 / 2}. Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут, не пересекая друг друга, и имеет место область запрещенных частот от значения (2 b/m ₁)^{1 / 2} до (2 b/m ₂)^{1 / 2}.

В области запрещенных частот, т.е. в области от значения (2 b/m ₁)^{1 / 2} до (2 b/m ₂)^{1 / 2} и выше самой высокой частоты, равной w_o^max= (2 b (1 /m ₁ + 1 /m ₂))^{1 / 2}, распространение механических волн будет происходить с затуханием, так как волновой вектор колебаний будет комплексным. Действительно, дисперсионное уравнение можно переписать как функцию от частоты:

Решение этого уравнения дает как действительные, так и комплексные значения волнового вектора k = k+ia для любых частот. Легко проверить, что в области запрещенных частот между акустической и оптической ветвью действительная часть k волнового вектора k равна, как и в одноатомной цепочке, p/a, так что соседние атомы колеблются в противофазе. В области запрещенных частот выше самой высокой частоты соседние атомы колеблются в фазе, т.е. действительное часть k волнового вектора равна нулю. Поэтому на графике эту часть дисперсионной зависимости рисуют слева от нуля, подчеркивая тем самым, что в этом случае имеется только мнимая часто волнового вектора.

Используя дисперсионное соотношение, можно построить зависимости w (k) для одномерной модели кристалла CdSe. Подобный график для цепочки с массами m ₁=2 и m ₂=5 и силовых констант b =35000 построен на рис. 50. Из рисунка видно, что в нанокристалле могут существовать собственные колебания не с любыми частотами, а только с теми, которые попадают в разрешённую область либо акустических движений, либо оптических колебаний. Данные колебания соответствуют фононным ветвям из области рисунка с действительными значениями волнового вектора k.

Рис. 50. Дисперсионные з ависимости для одномерной двухатомной модели кристалла. Рисунок содержит 3 области волновых векторов, в которых построены дисперсионные зависимости частот колебаний механической волны. Дисперсионная зависимость w (k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область, т.е. зона собственных колебательных состояний; 2 – реактивная область – красная, т.е. запрещенная зона частот.

Колебания из запрещённых зон (зона частот между акустической и оптической ветвью и область частот выше наибольшей собственной частоты) затухают в кристалле. Волновой вектор таких фононов имеет отличную от нуля мнимую часть. Значение мнимой части волнового вектора характеризует затухание таких колебаний. В областях 1 и 3 построены зависимости частот вынужденных колебаний кристалла от мнимых частей волновых векторов.

На рис. 50 область k с действительными значениями волнового вектора k, попадающими в зону Бриллюэна, представляет собой область собственных колебаний одномерной цепочки. Смещения здесь равны: u_n = Ae^ikan. Область справа представляет собой область затухающих волн с комплексным волновым вектором k = π /a + iana.

Мнимая часть волнового вектора показывает, насколько быстро происходит затухание колебаний в запрещённых областях частот. Колебания, попадающие в частотную область между акустической и оптической ветвями затухают с коэффициентом α ≈ π /2, что на расстоянии 2 a соответствует затуханию в e раз. Смещения здесь равны: u_n= Ae^{iπ n} e^–ana. В области слева от нуля существуют только затухающие колебания с чисто мнимым значением волнового вектора k = ia. Такие движения соответствуют затухающим колебаниям. Например, амплитуда колебания с частотой 280 см^–1 для данной модели кристалла CdS уменьшается в e раз на расстоянии в 1 элементарную ячейку.

Вид колебаний в этих случаях представлен на рис. 51.

Рис. 51. Колебания двухатомной цепочки с частотами, попадающими в запрещенные зоны. а) Вид движений атомов при частотах, попадающих в запрещенную зону между акустической и оптической ветвью 4 b/m ₂ > w²> 4 b/m ₁. В этом случае волновой вектор k является комплексным числом k=k+i a, Действительная часть k которого имеет значение p/ 2, так что соседние частицы колеблются в противофазе, а мнимая часть c. Поэтому смещение частиц в цепочке имеет вид: u_n=A× exp [ i (w× t+an/pa)] × exp (– a an). б) Вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами выше максимальной w²> > w²_max= 4 b [1 /m ₁+1 /m ₂]. В этом случае волновой вектор k является чисто мнимой величиной k=i a. Это также затухающая волна, в которой разные частицы колеблются в противофазе.