Решение стационарного уравнения Шредингера

с таким гамильтонианом переводит его в стандартное дифференциальное уравнение, а именно в уравнение Эрмита. Требование физической реальности – убывание волновой функции на бесконечности, т.е. условие, чтобы квадраты волновых функций были бы интегрируемыми (условие нормировки), – приводит к тому, что энергетические уровни квантового осциллятора принимают только некоторые дискретные значения:

,

где V – колебательное квантовое число. Основное состояние имеет энергию ћw/ 2 и называется нулевой энергией осциллятора, а энергетические уровни представляют собой эквидистантные уровни энергии. Волновые функции состояний с квантовым числом V выражаются через полиномы Чебышева-Эрмита и имеют вид:

,

где H_V [ x (mw/ћ)^1/2] – полиномы Эрмита. Вид первых нескольких эквидистантных уровней и волновых функций этих возбужденных состояний показаны на рис. 42.

Из этих выражений ясно, что энергия осциллятора равномерно распределена по уровням, и он может принимать энергию только в количестве, кратном ћw. Степень вырождения каждого состояния линейного гармонического осциллятора равна единице.

Гармонический осциллятор в трехмерном пространстве можно представить как совокупность трех линейных гармонических осцилляторов с энергией, зависящей от трех квантовых чисел n ₁, n ₂, n ₃

E_{n 1} +E_{n 2} +E_{n 3} = ћw (n ₁ +n ₂ +n+ 3/2) = ћw (n+ 3/2).

Здесь n=n ₁ +n ₂ +n ₃. Поскольку есть много возможностей выбрать три целых числа n ₁, n ₂, n ₃ так, чтобы получить данное целое число n, то уровни энергии трехмерного осциллятора вырождены. Например, для первого возбужденного состояния с n= 1 можно выбрать три варианта: n ₁ = 1, n ₂ =n ₃ = 0, или n ₂ = 1, n ₁ =n ₃ = 0 или n ₃ = 1, n ₁ =n ₂ = 0. Эти три различных колебательных состояния отвечают движению вдоль направлений x, y, z и соответственно имеют одну и ту же энергию. Для более высоких возбужденных состояний имеется еще больше комбинаций из трех чисел, сумма которых определяет энергию данного уровня. Поэтому при суммировании по состояниям нужно вводить соответствующий весовой множитель g, который учитывает это обстоятельство и называется кратностью вырождения состояния. Легко можно найти всевозможные комбинации трех чисел, составляющие в сумме заданное число и в общем случае. Очевидно, имеется n+ 1 возможность выбора первого числа, скажем r (= 0, 1 ..., n); второе число можно выбрать между 0 и n–r, следовательно, для него имеется n–r+ 1 возможность; третье квантовое число определится уже точно. Поэтому степень вырождения g уровня с квантовым числом n равна

.

Кратность вырождения состояний трехмерного осциллятора для первых нескольких уровней равна 1, 3, 6, 10, 15, 21…... Кристалл, содержащий s атомов в элементарной ячейке и имеющий N элементарных ячеек, можно рассматривать как совокупность 3 sN линейных осцилляторов, а не как sN трехмерных осцилляторов, поскольку уравнения движения этих осцилляторов полностью разделяются.

Квант энергии колебаний кристаллической решетки – фонон – отличается величиной энергии ћw_j (к), волновым вектора k, а, значит, импульсом ћ k, и номером ветви j. Число колебательных ветвей равно 3 s, число различных значений волнового вектора k – N, так что в кристалле может существовать 3 sN различных фононов. В гармоническом приближении фононы по многим свойствам ведут себя подобно идеальному газу. Все они движутся независимо друг от друга и не взаимодействуют друг с другом. Поэтому кристалл можно рассматривать как сосуд, а фононы – как точечные частицы в k -пространстве. Отличие подобной системы от идеального газа заключается лишь в том, что число фононов, вообще говоря, не сохраняется. При повышении температуры, когда кристалл получает тепловую энергию, появляются новые фононы, а при охлаждении число фононов уменьшается.

Фононы – частицы без спина и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Действительно, относительная вероятность найти систему (осциллятор) при температуре T в состоянии с энергией E_j равна W_j=g_jexp (–E_j/kT), где g_j – степень вырождения состояния j. Поскольку полная вероятность найти систему в любом из возможных состояний равна единице, то абсолютная вероятность p_j найти ее в состоянии с энергией E_j, равна:

.

Тогда среднее значение энергии E системы с набором стационарных состояний E_j можно вычислить следующим образом – просуммировать слагаемые произведения E_j p_j:

.

Здесь суммирование ведется по всем состояниям системы от j= 1 до j= ¥. Для гармонического осциллятора с энергией E_n=ћw (n+ 1/2) это выражение можно записать следующим образом:

.

Поэтому среднее значение энергии осциллятора при температуре T равно энергии нулевых колебаний плюс величине кванта ћw, домноженного на величину n= 1/[ exp (ћw/kT)–1], называемую фактором Бозе-Эйнштейна, который показывает среднее число фононов ћw в кристалле при температуре Т. При низких температурах, когда kT< < ћw, число фононов n (Т) µ exp (– ћw/kT), т.е. растет экспоненциально с увеличением температуры. В то же время при высоких температурах, когда kT> > ћw, число фононов в кристалле n (T) µ kT/ћw и изменяется пропорционально температуре T. Поэтому увеличение тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс рождения новых фононов. С другой стороны, если кристалл охлаждается и отдает энергию, это означает, что фононы уничтожаются или аннигилируют.