Структурные изменения. Тест Чоу.

Проверку наличия (или отсутствия) в выборочных данных структурных изменений можно выполнить также при помощи теста Чоу.

Нередки случаи, когда имеются две выборки пар значений зависимой и объясняющих переменных . Например, одна выборка пар значений переменных объемом получена при одних условиях, а другая, объемом , — при несколько измененных условиях. Необходимо выяснить, действительно ли две выборки однородны в регрессионном смысле? Другими словами, можно ли объединить две выборки в одну и рассматривать единую модель регрессии по ? Это можно выяснить с помощью теста Чоу.

Алгоритм теста Чоу:

1) Оцениваем первоначальную модель. Рассчитываем сумму квадратов отклонений (ESS₀)

2) Разбиваем выборку на две части: до изменения и после изменения. Оцениваем каждую выборку и вычисляем для каждой сумму квадратов отклонений (ESS₁ и ESS₂).

3) Вычисляем статистику Чоу:

4) Вычисляем критическое значение F статистики при помощи Excel (функция Fраспобр с параметрами

5) Проверяем неравенство Fкр. Если неравенство выполняется структурные изменения незначительно влияют.

Исходные данные, которые не обладают определенностью, т.е. имеется излом тенденции, можно моделировать с помощью следующих способов:

1. Разделить имеющиеся данные на однородные участки и рассмотреть каждый участок в отдельности, Применяется, когда излом тенденции значительный, а выборка позволяет разбить ее на 2 подвыборки (выборка должна быть большая).

2. Построить единую модель по всем данным. Используется, если излом тенденции несущественен и объем выборки не позволяет разбить ее на 2 части.

3. Ввести в модель фиктивные переменные, т.е. получить кусочно-линейные регрессионные модели, которые позволяют, с одной стороны, не разбивать исходную выборку, с другой – улучшить качество подгонки уравнений.

Формальный критерий выбора между моделями раздельными и объединенной – критерий Чоу.

Схема теста Чоу: Пусть P – общая выборка, A, B – под выборки

После определения всех показателей таблицы рассматривается F-статистика

Определяется Fтабл со степенями свободы V₁=(k_A+k_B-k), V₂=(n-k_A-k_b).

Если F_расч< F_табл, то делается вывод, что лучше оценивать объединенную модель.

Кроме сезонных и циклических колебаний весьма важную роль играют единовременные изменения характера тенденции временного ряда. Эти (относительно) быстрые однократные изменения тренда (его характера) вызываются структурными изменениями в экономике либо мощными глобальными (внешними) факторами. Прежде всего выясняется, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер тренда. При условии значимости такого влияния (структурных изменений) на характер тренда используется кусочно-линейная модель регрессии. Кусочно-линейная модель означает представление исходной совокупности данных ряда в виде двух частей. Одна часть данных моделируется просто линейной моделью с одним коэффициентом регрессии (углом наклона прямой) и представляет данные до момента (периода) структурных изменений. Вторая часть данных — это тоже линейная модель, но уже с иным коэффициентом регрессии (углом наклона).

После построения двух таких моделей (подмоделей) линейной регрессии получают уравнения двух соответствующих прямых. Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда, то вместо построения точной кусочно-линейной модели вполне можно использовать единую аппроксимирующую модель, т.е. одну общую линейную зависимость (одну прямую), тоже вполне приемлемо представляющую данные в целом. Незначительное ухудшение в отдельных данных при этом непринципиально.

Если строится кусочно-линейная модель, то снижается остаточная сумма квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. В то же время разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и тем самым к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Единое уравнение для всей совокупности данных позволяет сохранить число наблюдений исходной совокупности. Остаточная сумма квадратов по этому уравнению в то же время выше, чем такая же сумма для кусочно-линейной модели. Выбор конкретной — кусочно-линейной или просто линейной — модели, т.е. единого уравнения тренда, зависит от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Для оценки этого соотношения был предложен статистический тест Грегори — Чоу. В этом тесте рассчитываются параметры уравнений трендов, вводится гипотеза о структурной стабильности тенденции исследуемого ряда динамики. Ясно, что остаточную сумму квадратов кусочно-линейной модели можно найти как сумму соответствующих сумм квадратов для обеих линейных компонент модели. Сумма числа степеней свободы этих компонент дает число степеней свободы всей модели в целом. Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели — это просто остаточная сумма квадратов, из которой вычтены соответствующие суммы для обеих компонент кусочно-линейной модели. Столь же просто определяется и соответствующее число степеней свободы.

После этого рассчитывается фактическое значение F-критерия по дисперсиям на одну степень свободы. Это значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределения Фишера для требуемого уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы. Как всегда, если расчетное (фактическое) значение больше табличного (критического), то гипотеза о структурной стабильности (незначимости структурных изменений) отклоняется. Влияние же структурных изменений на динамику изучаемого показателя признается значимым. Таким образом, следует моделировать тенденцию ряда динамики с помощью кусочно-линейной модели. Если же расчетное значение меньше критического, то нельзя отклонять нуль-гипотезу без риска сделать неверный вывод. В этом случае следует использовать единое для всей совокупности уравнение регрессии как наиболее достоверное и минимизирующее вероятность ошибки.