Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Дифференциальные уравнения второго порядка.






    Общий вид уравнения второго порядка: .

    Начальные условия принимают вид: и .

    Общим решением является функция , содержащая две произвольных постоянных и . Частным решением называется функция , полученное из общего решения, удовлетворяющее начальным условиям.

    Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.

    Уравнения вида . Решение этого уравнения находится 2-кратным интегрированием, а именно: ,

    , . (2.11)

    Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:

    , (2.12)

    где и – некоторые действительные числа.

    Общим решением является функция , где и – частные решения уравнения (2.12). Для их определения решаем характеристическое уравнение

    . (2.13)

    Пусть и – корни уравнения (2.13), тогда возможны следующие случаи:

    1) если и – действительные числа, причем , тогда:

    и ; (2.14)

    2) если и – действительные числа, и , тогда:

    и ; (2.15)

    3) если и – комплексные числа, т.е. , тогда:

    и . (2.16)

     

    Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:

    , где – заданная функция. (2.17)

    Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:

    , (2.18)

    где – общее решение однородного уравнения (2.12), которые определяются по формулам (2.14)–(2.16), а – частное решение уравнения (2.17).

    Метод нахождения частного решения зависит от функции . Остановимся только на случае, когда – функция специального вида.

    1) Пусть , где – действительное число, а – многочлен степени . Частное решение ищем в виде

    , (2.19)

    где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а – многочлен степени с неопределенными коэффициентами .

    Для определения этих коэффициентов, подставим в уравнение (2.17), сократим на . Получим слева многочлен степени с неопределенными коэффициентами , справа – многочлен степени , но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

    2) Пусть , где , , и – действительные числа. Тогда частное решение ищем в виде

    , (2.20)

    где – число, равное кратности как корня характеристического уравнения (2.13), а и – неопределенные коэффициенты.

    После подстановки в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.

    Замечание: форма (2.20) частного решения сохраняется и в случаях, когда или .







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.