💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Физические приложения криволинейного интеграла I рода

a) Вычисление массы плоской материальной кривой с линейной плотностью – масса кривой с плотностью

b) Вычисление статических моментов относительно осей и соответственно:

c) Определение моментов инерции кривой относительно осей и соответственно

d) Определение момента инерции кривой относительно начала координат

e) Определение моментов инерции кривой относительно осей и соответственно

Приведенные выше формулы a)-e) имеют естественное обобщение на трехмерное пространство:

Если – пространственная кривая и – линейная плотность, то формулы для вычисления соответствующих физических величин будут выглядеть следующим образом:

a) Вычисление массы

b) Вычисление статических моментов относительно координатных плоскостей

c) Определение координат центра масс кривой

d) Определение момента инерции кривой относительно начала координат

e) Вычисление моментов инерции кривой относительно осей координат (моменты 2-го порядка)

Согласно определению статического момента кривой относительно прямой, статические моменты кривой относительно координатных осей будут вычисляться по формулам:

Вычислим указанные выше параметры a)-e) для одного витка -спирали, намотанной на цилиндр радиуса R с шагом

Задача 1. Вычислить значение параметров определенных в пункте а) из 1, если кривая определена соотношениями: а плотность постоянна вдоль кривой.

Решение: а) спирали, намотанной на цилиндр

b)

с) Таким образом, центр тяжести имеет координаты Заметим, что

d)

e)

Легко видеть, что

Задача 2. Вычислить значение всех параметров из пунктов a)-e) раздела 1 для прямолинейного отрезка плотности

Решение.

a) . Параметризуем

b)

c)

d)

e)

Очевидно, что

Задача 3. Найти статический момент и момент инерции дуги астроиды с линейной плотностью

Решение. Параметризуем дугу полагая, что

Тогда

Криволинейный интеграл I рода позволяет вычислить силу притяжения материальной точки массы материальной кривой

Задача 4. Найти проекцию на оси координат силы, с которой материальная однородная дуга окружности массы притягивает материальную точку массы

Решение. Координаты проекции силы вычисляются по формуле: где – гравитационная постоянная, – угол между и Очевидно, что Плотность

Таким образом,

Решить самостоятельно следующие задачи.

5. Найти массу и центр тяжести материальной кривой с линейной плотностью если

6. Найти координаты центра тяжести контура однородного сферического треугольника:

Поверхностью уровня функции называется множество точек в таких, что для некоторого

7. Найти поверхности уровня скалярного поля

8. Найти поверхности уровня функции где – фиксированный вектор

9. Найти поверхности уровня функции

10. Найти поверхности уровня функции где