Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Вариационный ряд и его графические изображения






    Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывает­ся случайной величиной Х. Если из генеральной совокупности извлечь выборку объема n, то элементы выборки будут пред­став­лять собой значения случайной величины Х.

    На начальном этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел по возрастанию.

    Вариантами называются различные элементы выборки.

    Частотой варианты называется число , показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

    Относительной частотой или долей варианты в выборке объема n называется число .

    Частоты и относительные частоты называются весами.

    Пусть х некоторое число, тогда количество вариант , значения которых меньше х, называется накопленной частотой.

    Отношение накопленной частоты к объему выборки называется накопленной относительной частотой .

    Вариационным рядом называется ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими весами.

    Дискретным называется вариационный ряд, представляющий собой выборку значений дискретной случайной величины. Обычно дискретный вариационный ряд записывают в виде таблицы:

     

    Варианты
    Частоты

     

    Непрерывным (интервальным) называется вариационный ряд, который представляет собой выборку значений непрерывной случайной величины.

    Для построения интервального вариационного ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы , т.е. производят их группировку. Оптимальное количество интервалов k рекомендуется определять по формуле Стерджесса: При этом длина интервала будет равна: Подсчитывая число значений, попавших в ый полуинтервал, полу­чим значения частот . При этом, если варианта находится на границе интервала, ее причисляют к правому интервалу.

    В результате получают интервальный ряд, который записывают в виде таблицы:

     

    Варианты
    Частоты

     

    Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона, гистограммы и кумуляты.

    Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами . Для интервального ряда также строится полигон, только его ломаная соединяет точки , где .

    Гистограмма служит только для представления интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов , и высотами, равными частотам соответствующих интервалов.

    Кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами для дискретного ряда, или точки с координа­тами для интервального ряда.

    Эмпирической функцией распределения называется функция, значение которой в точке х равно накопленной относи­тель­ной частоте, т.е. .

    Для интервального ряда указываются не конкретные значения вариант, а только их частоты на интервалах. В этом случае эмпирическая функция распределения будет определена только на концах интервалов, и ее можно изобразить ломаной, проходящей через точки .

    Эмпирической плотностью распределения непрерывного вариационного ряда называется функция

     

    ПРИМЕРЫ:

    1. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви:

    39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42,

    41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44,

    40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

    Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпирическую функцию распределения.

    Различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. В результате вариационный ряд имеет вид:

     

                   
                   

     

    Полигон этого распределения изображен на рис. 2.1.

     

     

    По данным вариационного ряда находим накопленные частоты и относительные частоты и заносим полученные значения в таблицу:

     

                     
                     
      0, 022 0, 089 0, 2 0, 378 0, 644 0, 844 0, 978  

     

    По данным полученной таблицы строим кумуляту (рис. 2.2) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2.3).

     

     

    2. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в микронах):

    -1, 752 -0, 291 -0, 933 -0, 450 0, 512 -1, 256 1, 701 0, 634 0, 720 0, 490

    1, 531 -0, 433 1, 409 1, 730 -0, 266 -0, 058 0, 248 -0, 095 -1, 488 -0, 361

    0, 415 -1, 382 0, 129 -0, 361 -0, 087 -0, 329 0, 086 0, 130 -0, 244 -0, 882

    0, 318 -1, 087 0, 899 1, 028 -1, 304 0, 349 -0, 293 -0, 883 -0, 056 0, 757

    -0, 059 -0, 539 -0, 078 0, 229 0, 194 -1, 084 0, 318 0, 367 -0, 992 0, 529.

    Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд, полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения.

     

    По данным выборки находим: . Разобьем множество значений на интервалы. Количество интервалов найдем по формуле Стерджесса: Начало первого интервала , а конец последнего седьмого интервала . При этом варианту отнесем в первый интервал. Длина интервалов будет равна:

    .

    Подсчитав число вариант, попадающих в каждый интервал, получим таблицу вариационного ряда:

     

    [ ai, ai+1) [-1, 75; -1, 25) [-1, 25; -0, 75) [-0, 75; -0, 25) [-0, 25; 0, 25) [0, 25; 0, 75) [0, 75; 1, 25) [1, 25; 1, 75)
                 

     

    По данным таблицы строим полигон и гистограмму распределения (рис. 2.4).

     

     

     

     

    Для построения эмпирической функции распределения вычис­лим относительные накопленные частоты и составим таблицу:

     

    -1, 75 -1, 25 -0, 75 -0, 25 0, 25 0, 75 1, 25 1, 75
      0, 1 0, 26 0, 44 0, 68 0, 86 0, 92  

     

    Найдем значения эмпирической плотности вероятности для каждого интервала по формуле: и составим таблицу:

     

     

    [ ai, ai+1) [-1, 75; -1, 25) [-1, 25; -0, 75) [-0, 75; -0, 25) [-0, 25; 0, 25) [0, 25; 0, 75) [0, 75; 1, 25) [1, 25; 1, 75)
    0, 2 0, 32 0, 36 0, 48 0, 36 0, 12 0, 16

     

    На рис. 2.5 изображена эмпирическая функция распределения, а на рис. 2.6 – эмпирическая плотность распределения.

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.