Вариационный ряд и его графические изображения

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывает­ся случайной величиной Х. Если из генеральной совокупности извлечь выборку объема n, то элементы выборки будут пред­став­лять собой значения случайной величины Х.

На начальном этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел по возрастанию.

Вариантами называются различные элементы выборки.

Частотой варианты называется число , показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Относительной частотой или долей варианты в выборке объема n называется число .

Частоты и относительные частоты называются весами.

Пусть х некоторое число, тогда количество вариант , значения которых меньше х, называется накопленной частотой.

Вариационным рядом называется ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими весами.

Дискретным называется вариационный ряд, представляющий собой выборку значений дискретной случайной величины. Обычно дискретный вариационный ряд записывают в виде таблицы:

Варианты			…
Частоты			…

Непрерывным (интервальным) называется вариационный ряд, который представляет собой выборку значений непрерывной случайной величины.

Для построения интервального вариационного ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы , т.е. производят их группировку. Оптимальное количество интервалов k рекомендуется определять по формуле Стерджесса: При этом длина интервала будет равна: Подсчитывая число значений, попавших в ый полуинтервал, полу­чим значения частот . При этом, если варианта находится на границе интервала, ее причисляют к правому интервалу.

В результате получают интервальный ряд, который записывают в виде таблицы:

Варианты			…
Частоты			…

Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона, гистограммы и кумуляты.

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами . Для интервального ряда также строится полигон, только его ломаная соединяет точки , где .

Гистограмма служит только для представления интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов , и высотами, равными частотам соответствующих интервалов.

Кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами для дискретного ряда, или точки с координа­тами для интервального ряда.

Эмпирической функцией распределения называется функция, значение которой в точке х равно накопленной относи­тель­ной частоте, т.е. .

Для интервального ряда указываются не конкретные значения вариант, а только их частоты на интервалах. В этом случае эмпирическая функция распределения будет определена только на концах интервалов, и ее можно изобразить ломаной, проходящей через точки .

Эмпирической плотностью распределения непрерывного вариационного ряда называется функция

ПРИМЕРЫ:

1. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви:

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42,

41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44,

40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпирическую функцию распределения.

Различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. В результате вариационный ряд имеет вид:

Полигон этого распределения изображен на рис. 2.1.

По данным вариационного ряда находим накопленные частоты и относительные частоты и заносим полученные значения в таблицу:

		0, 022	0, 089	0, 2	0, 378	0, 644	0, 844	0, 978

По данным полученной таблицы строим кумуляту (рис. 2.2) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2.3).

2. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в микронах):

-1, 752 -0, 291 -0, 933 -0, 450 0, 512 -1, 256 1, 701 0, 634 0, 720 0, 490

1, 531 -0, 433 1, 409 1, 730 -0, 266 -0, 058 0, 248 -0, 095 -1, 488 -0, 361

0, 415 -1, 382 0, 129 -0, 361 -0, 087 -0, 329 0, 086 0, 130 -0, 244 -0, 882

0, 318 -1, 087 0, 899 1, 028 -1, 304 0, 349 -0, 293 -0, 883 -0, 056 0, 757

-0, 059 -0, 539 -0, 078 0, 229 0, 194 -1, 084 0, 318 0, 367 -0, 992 0, 529.

Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд, полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения.

По данным выборки находим: . Разобьем множество значений на интервалы. Количество интервалов найдем по формуле Стерджесса: Начало первого интервала , а конец последнего седьмого интервала . При этом варианту отнесем в первый интервал. Длина интервалов будет равна:

.

Подсчитав число вариант, попадающих в каждый интервал, получим таблицу вариационного ряда:

[ ai, ai+1)	[-1, 75; -1, 25)	[-1, 25; -0, 75)	[-0, 75; -0, 25)	[-0, 25; 0, 25)	[0, 25; 0, 75)	[0, 75; 1, 25)	[1, 25; 1, 75)

По данным таблицы строим полигон и гистограмму распределения (рис. 2.4).

Для построения эмпирической функции распределения вычис­лим относительные накопленные частоты и составим таблицу:

	-1, 75	-1, 25	-0, 75	-0, 25	0, 25	0, 75	1, 25	1, 75
		0, 1	0, 26	0, 44	0, 68	0, 86	0, 92

Найдем значения эмпирической плотности вероятности для каждого интервала по формуле: и составим таблицу:

[ ai, ai+1)	[-1, 75; -1, 25)	[-1, 25; -0, 75)	[-0, 75; -0, 25)	[-0, 25; 0, 25)	[0, 25; 0, 75)	[0, 75; 1, 25)	[1, 25; 1, 75)
	0, 2	0, 32	0, 36	0, 48	0, 36	0, 12	0, 16

На рис. 2.5 изображена эмпирическая функция распределения, а на рис. 2.6 – эмпирическая плотность распределения.