Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Вариационный ряд и его графические изображения




Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывает­ся случайной величиной Х. Если из генеральной совокупности извлечь выборку объема n, то элементы выборки будут пред­став­лять собой значения случайной величины Х.

На начальном этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел по возрастанию.

Вариантами называются различные элементы выборки.

Частотой варианты называется число , показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Относительной частотой или долей варианты в выборке объема n называется число .

Частоты и относительные частоты называются весами.

Пусть х некоторое число, тогда количество вариант , значения которых меньше х, называется накопленной частотой.

Отношение накопленной частоты к объему выборки называется накопленной относительной частотой .

Вариационным рядом называется ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими весами.

Дискретным называется вариационный ряд, представляющий собой выборку значений дискретной случайной величины. Обычно дискретный вариационный ряд записывают в виде таблицы:

 

Варианты
Частоты

 

Непрерывным (интервальным) называется вариационный ряд, который представляет собой выборку значений непрерывной случайной величины.

Для построения интервального вариационного ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы , т.е. производят их группировку. Оптимальное количество интервалов k рекомендуется определять по формуле Стерджесса: При этом длина интервала будет равна: Подсчитывая число значений, попавших в ый полуинтервал, полу­чим значения частот . При этом, если варианта находится на границе интервала, ее причисляют к правому интервалу.

В результате получают интервальный ряд, который записывают в виде таблицы:

 

Варианты
Частоты

 

Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона, гистограммы и кумуляты.

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами . Для интервального ряда также строится полигон, только его ломаная соединяет точки , где .

Гистограмма служит только для представления интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов , и высотами, равными частотам соответствующих интервалов.

Кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами для дискретного ряда, или точки с координа­тами для интервального ряда.



Эмпирической функцией распределения называется функция, значение которой в точке х равно накопленной относи­тель­ной частоте, т.е. .

Для интервального ряда указываются не конкретные значения вариант, а только их частоты на интервалах. В этом случае эмпирическая функция распределения будет определена только на концах интервалов, и ее можно изобразить ломаной, проходящей через точки .

Эмпирической плотностью распределения непрерывного вариационного ряда называется функция

 

ПРИМЕРЫ:

1. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви:

39, 41, 40, 42, 41, 40, 42, 44, 40, 43, 42, 41, 43, 39, 42,

41, 42, 39, 41, 37, 43, 41, 38, 43, 42, 41, 40, 41, 38, 44,

40, 39, 41, 40, 42, 40, 41, 42, 40, 43, 38, 39, 41, 41, 42.

Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпирическую функцию распределения.

Различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. В результате вариационный ряд имеет вид:

 

 

Полигон этого распределения изображен на рис. 2.1.

 

 

По данным вариационного ряда находим накопленные частоты и относительные частоты и заносим полученные значения в таблицу:

 

 
0,022 0,089 0,2 0,378 0,644 0,844 0,978

 



По данным полученной таблицы строим кумуляту (рис. 2.2) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2.3).

 

 

2. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в микронах):

-1,752 -0,291 -0,933 -0,450 0,512 -1,256 1,701 0,634 0,720 0,490

1,531 -0,433 1,409 1,730 -0,266 -0,058 0,248 -0,095 -1,488 -0,361

0,415 -1,382 0,129 -0,361 -0,087 -0,329 0,086 0,130 -0,244 -0,882

0,318 -1,087 0,899 1,028 -1,304 0,349 -0,293 -0,883 -0,056 0,757

-0,059 -0,539 -0,078 0,229 0,194 -1,084 0,318 0,367 -0,992 0,529.

Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд, полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения.

 

По данным выборки находим: . Разобьем множество значений на интервалы. Количество интервалов найдем по формуле Стерджесса: Начало первого интервала , а конец последнего седьмого интервала . При этом варианту отнесем в первый интервал. Длина интервалов будет равна:

.

Подсчитав число вариант, попадающих в каждый интервал, получим таблицу вариационного ряда:

 

[ai, ai+1) [-1,75; -1,25) [-1,25; -0,75) [-0,75; -0,25) [-0,25; 0,25) [0,25; 0,75) [0,75; 1,25) [1,25; 1,75)

 

По данным таблицы строим полигон и гистограмму распределения (рис. 2.4).

 

 

 

 

Для построения эмпирической функции распределения вычис­лим относительные накопленные частоты и составим таблицу:

 

-1,75 -1,25 -0,75 -0,25 0,25 0,75 1,25 1,75
0,1 0,26 0,44 0,68 0,86 0,92

 

Найдем значения эмпирической плотности вероятности для каждого интервала по формуле: и составим таблицу:

 

 

[ai, ai+1) [-1,75; -1,25) [-1,25; -0,75) [-0,75; -0,25) [-0,25; 0,25) [0,25; 0,75) [0,75; 1,25) [1,25; 1,75)
0,2 0,32 0,36 0,48 0,36 0,12 0,16

 

На рис. 2.5 изображена эмпирическая функция распределения, а на рис. 2.6 – эмпирическая плотность распределения.

 

 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2020 год. (0.016 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал