Вариационный ряд и его графические изображения

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной Х. Если из генеральной совокупности извлечь выборку

объема n, то элементы выборки будут представлять собой значения случайной величины Х.

На начальном этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел

по возрастанию.

Вариантами

называются различные элементы выборки.

Частотой варианты

называется число

, показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Относительной частотой или долей варианты

в выборке объема n называется число

Частоты и относительные частоты называются весами.

Пусть х некоторое число, тогда количество вариант

, значения которых меньше х, называется накопленной частотой.

Вариационным рядом называется ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их значений, с соответствующими весами.

Дискретным называется вариационный ряд, представляющий собой выборку значений дискретной случайной величины. Обычно дискретный вариационный ряд записывают в виде таблицы:

Непрерывным (интервальным) называется вариационный ряд, который представляет собой выборку значений непрерывной случайной величины.

Для построения интервального вариационного ряда разбивают множество значений вариант на полуинтервалы

, т.е. производят их группировку. Оптимальное количество интервалов k рекомендуется определять по формуле Стерджесса:

При этом длина интервала будет равна:

Подсчитывая число значений, попавших в

ый полуинтервал, получим значения частот

. При этом, если варианта находится на границе интервала, ее причисляют к правому интервалу.

В результате получают интервальный ряд, который записывают в виде таблицы:

Для наглядности представления используют графические изображения вариационных рядов в виде полигона, гистограммы и кумуляты.

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами

. Для интервального ряда также строится полигон, только его ломаная соединяет точки

, где

Гистограмма служит только для представления интервальных вариационных рядов и имеет вид ступенчатой фигуры из прямоугольников с основаниями, равными длине интервалов

, и высотами, равными частотам

соответствующих интервалов.

Кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки с координатами

для дискретного ряда, или точки с координатами

для интервального ряда.

Эмпирической функцией распределения называется функция, значение которой в точке х равно накопленной относительной частоте, т.е.

Для интервального ряда указываются не конкретные значения вариант, а только их частоты на интервалах. В этом случае эмпирическая функция распределения будет определена только на концах интервалов, и ее можно изобразить ломаной, проходящей через точки

Эмпирической плотностью распределения непрерывного вариационного ряда называется функция

1. В магазине за день продано 45 пар мужской обуви. Имеется выборка значений случайной величины Х – размера обуви:

Построить дискретный вариационный ряд, полигон, кумуляту и эмпирическую функцию распределения.

Различные значения признака располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту. В результате вариационный ряд имеет вид:

Полигон этого распределения изображен на рис. 2.1.

По данным вариационного ряда находим накопленные частоты и относительные частоты и заносим полученные значения в таблицу:

По данным полученной таблицы строим кумуляту (рис. 2.2) и эмпирическую функцию распределения (рис. 2.3).

2. Результаты измерений отклонений от номинала диаметров 50 подшипников дали численные значения (в микронах):

Для данной выборки построить интервальный вариационный ряд, полигон, гистограмму, графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности распределения.

По данным выборки находим:

. Разобьем множество значений на интервалы. Количество интервалов найдем по формуле Стерджесса:

Начало первого интервала

, а конец последнего седьмого интервала

. При этом варианту

отнесем в первый интервал. Длина интервалов будет равна:

Подсчитав число вариант, попадающих в каждый интервал, получим таблицу вариационного ряда:

По данным таблицы строим полигон и гистограмму распределения (рис. 2.4).

Для построения эмпирической функции распределения вычислим относительные накопленные частоты и составим таблицу:

Найдем значения эмпирической плотности вероятности для каждого интервала по формуле:

и составим таблицу:

На рис. 2.5 изображена эмпирическая функция распределения, а на рис. 2.6 – эмпирическая плотность распределения.