Модель Эрроу-Дебре

Определение

Распределение x € R^NSM p€R^NS образуют равновесие Эрроу-Дубре в экономике обмена с контингетными благами, если:

1) Для любого потребителя k набор x^k является наилучшим согласно предпочтениям данного потребителя, среди всех наборов из бюджетного множества x^k€X^k: px≤ p ω;

2) Рынок любого контингентного блага уравновешен.

Фактически описанная экономика полностью совпадает с изучаемой в условиях определенности; изменения коснулись лишь самой концепции потребительского блага и спецификации функции полезности. Это означает, что для равновесия Эрроу-Дебре будут иметь место все результаты, которые получены для случая определенности. Единственное различие состоит в том, что для использования в экономике с контингетными товарами функции ожидаемой полезности необходимо в дополнение к стандартным условиям теорем (о существовании, единственности равновесия и теорем благосостояния) потребовать выполнение аксиомы независимости.

Поскольку в данной экономике имеет место первая теорема благосостояния, то равновесие Эрроу-Дебре в экономике с локально ненасыщаемыми предпочтениями будет Парето-оптимальным.

Более простая трактовка.

Модель говорит о существовании срочных рынков, на этих рынках все решения принимаются в текущем периоде и приобретают форму контрактов, реализуемых в течение будущих периодов.

Агенты покупают и продают условно-случайные контракты, выполнение которых обуславливаются реализацией соответствующего состояния.

Агенты покупают и продают условно-случайные контракты, выполнение которых обуславливается реализацией соответствующего состояния.

Агенты должны формировать ожидания относительно будущих событий и иметь возможность определить их вероятности. Ожидания, касающиеся будущих рыночных цен не являются необходимыми элементами модели.

Такие следки называют опционными, они позволяют агенту одновременно избежать риска и воспользоваться при случае в будущем благоприятной возможностью, не осуществлять опцион.

Мир Эрроу является совершенной системой срочных условно-случайных рынков, что вызывает необходимость переопределения товара. Характеристиками его теперь оказываются не только потребительская ценность и место поставки, но и дата поставки, состояние мира, при котором он должен быть доставлен.

Ограничения модели.

1. Неопределенность. Предполагается, что все будущие состояния природы могут быть идентифицированы исчерпывающим образом, может быть определена их вероятность, с которой они происходят. Это предположение сводит модель к случаю страхуемого рыска и исключает полную неопределенность.

2. Несовершенство рынков. Для одного и того же физического лица должно существовать столько же контрактов, сколько существует периодов и состояний природы.

Создание рынков связано с большими затратами на сбор информации, что приводит к тому, что некоторые из указанных рынков не возникают.

Ограниченность рынков может вызвать непреодолимые информационные проблемы: номенклатура товаров не является более общеизвестной, цена становится единственным объективным сигналом потребительной ценности этого блага.

Однако по той же цене можно приобрести блага различного качества. Это ведет к последствиям отрицательным для благосостояния как покупателей, так и продавцов товаров хорошего качества, так называемому неблагоприятному отбору.

3. Множественность состояний равновесия. Если система срочных рынков не является совершенной, агенты прибегнут к осуществлению сделок в каждом периоде. Экономика становится последовательной. Агента в течение каждого периода принимают решения в зависимости от своих ожиданий, которые касаются не только будущих состояний мира, но и будущих цен. Ожидания будут меняться от периода к периоду.

Рациональные ожидания: распределение субъективной вероятности совпадает с распределением объективной вероятности.

Равновесие в модели Раднера (экономика с последовательной торговлей)

Будем рассматривать два периода времени: t=0, когда нет информации о том, какое состояние реализуется, и t=1, когда ясно, какое состояние реализовалось. Будем считать, что в период t=0 ничего не потребляется.

Пусть в период t=0 существуют все контингентные рынки хотя бы для одного физического товара, а затем в период t=1 открываются спот-рынки по всем товарам. В такое экономике смысл последующей торговли очевиден, поскольку в ней нет полной системы рынков в период t=0, а потому торговля в нулевом периоде вряд ли исчерпывает все возможности для последующего взаимовыгодного обмена.

Для того, чтобы принимать решения в момент t=0, потребителю нужно иметь некие ожидания относительно того, какие же цены сложатся на спот-рынках в момент t=1. Обозначим ожидаемые цены спот-рынков через

p=(p_{11, ….} p_NS) €R^NS. Заметим, что предполагаются одинаковые ожидания всех потребителей. Будем считать, что в период t=0 существуют контингентные блага по всем состояниям для первого физического блага, и обозначим соответствующие форвардные цены через q=(q _{1, …}q _s) € R^S. Кроме того предположим, что в период t=0 у потребителей нет никакого богатства, и потому каждый потребитель, если решать торговать на форвардных рынках, то заключает как минимум два контракта: один на покупку, другой – на продажу. Это условие не является существенным: например, можно рассмотреть модифицированную модель, где каждый потребитель k изначально обладает неким набором форвардных контрактов, где в роли таких контрактов выступает вектор первоначальных запасов ω ^k .

Каждый потребитель k выбирает объем сделок по каждому из S контингентных благ в период t=0. Обозначим соответствующий вектор покупок-продаж через z^k€R^s. Он также выбирает потребительский набор, а тем самым определяет покупки-продажи на спот-рынках в период t=1. Полученный в результате всех этих сделок потребительский набор обозначим через x^k € R^NS

Если придерживаться исходного предположения об отсутствии богатства в момент t=0, то сделки, заключаемые на форвардных рынках, должны удовлетворять условию

…………………….

Помимо сделок на форвардных рынках, индивид в любом состоянии s€ S выбирает свой потребительский набор, стоимость которого не должна превосходить его совокупного дохода в этом состоянии. Доход потребителя в состоянии s включает стоимость запаса и стоимость блага, которое потребитель купил (продал) в момент t=0.

Если z^k ≥ 0, то он купил благо, и его стоимость добавляется к богатству потребителя в состоянии s, а в противном случае, если z^k ≤ 0, - вычитается.

В результате бюджетное ограничение имеет вид

Заметим, что не вводим никаких экзогенных ограничений на объемы форвардных контрактов. Например, возможна ситуация, когда z^k ≤ - ω ^k, то есть агент может продать блага больше, чем он будет иметь в состоянии s и, следовательно, если состояние s наступит, ему придется купить на спот- рынке недостающее количество первого товара, чтобы выполнить свои обязательства. Тем не менее возможность таких «кротких позиций» ограничена тем, что потребление x^k _is должно быть неотрицательным в любом состоянии s, а, следовательно, и богатство должно быть неотрицательным.

Что накладывает определенные ограничения на z^k _s.

Считается, что потребители имеют рациональные ожидания, то есть ожидают именно те цены, которые уравновесят спот рынки после разрешения неопределенности.

Набор контингентных благ и цен спот рынков, а также набор форвардных контрактов, выбираемых в период t=0 и потребительские наборы, образуют равновесие Раднера, если

1) Для любого потребителя

……………………… решение задачи потребителя при ценах q и p;

2) Уравновешены все форвардные рынки и все спот рынки.

Заметим, что ограничения задачи потребителя не изменятся, если цены физических товаров в любом состоянии изменяются пропорционально. Таким образом, мы можем пронормировать цены, положив для любого состояния s цену одного из физических товаров равной единице. Пусть это будет первый товар: p_1s=1 для всех s=1, … S. Аналогично есть возможность пронормировать форвардные цены, положив, к примеру, q₁=1 (или считая, что ∑ q_s=1).

Равновесные распределения в модели Эрроу-Дебре совпадают с множеством равновесных распределений в модели Раднера.