Решение. Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет единственное решение, так как определитель системы

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Система n линейных уравнений с n неизвестными является совместной и имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных не равен нулю. Вычислим определитель системы методом разложения его по элементом строки. Разложим по первой строке:

Так как определитель системы не равен нулю, система уравнений совместна и имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по формулам Крамера

где D₁ D₂ D₃ - определители, которые получаются из определителя D системы путем замены в нем соответственно 1-го, 2-го, 3-го столбцов коэффициентов при неизвестных x₁ x₂ x₃ столбцом свободных членов уравнений, стоящих в правой части данной системы. Получим следующие три определителя:

Проверим это решение, подставив значения неизвестных во все уравнения

б) Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

3. Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

4. Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение

, откуда х₃ = -3 Подставляя х₃ = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим

или

. Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем

Решение

такое же, как в случае (а). Оно уже проверено.

Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули. Таким образом сразу получается решение.

В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный порядок действий)

1. Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую строку, в которой первый элемент не равен нулю.

2. Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий элемент.

3. Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.

4. Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих шагах исключения, переписываем без изменения.

5. Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу «прямоугольника»:

Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D₁ и D₂– “диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте пересчитываемого.

Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно.

Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим