Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Поверхности второго порядка.






    Если линейное уравнение в трехмерном декартовом базисе однозначно определяет плоскость, любое нелинейное уравнение, содержащее х, у, z описывает какую – то иную поверхность. Если уравнение имеет вид

    Ах2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, то оно описывает поверхность второго порядка (общее уравнение поверхности второго порядка). Выбором или преобразованием декартовых координат уравнение можно максимально упростить, приведя к одной из следующих форм, описывающих соответствующую поверхность.

    1. Канонические уравнения цилиндров второго порядка, образующие которых параллельны оси Oz, а направляющими служат соответствующие кривые второго порядка, лежащие в плоскости хОу:

    (2.43), (2.44), у2 = 2рх (2.45)

    эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры соответственно.

    (Напомним, что цилиндрической называют поверхность, полученную перемещением прямой, называемой образующей, параллельно самой себе. Линию пересечения этой поверхности с плоскостью, перпендикулярной образующей, называют направляющей – она определяет форму поверхности).

    По аналогии можно записать уравнения таких же цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси Оу и оси . Направляющую можно задать, как линию пересечения поверхности цилиндра и соответствующей координатной плоскости, т.е. системой уравнений вида:

    2. Уравнения конуса второго порядка с вершиной в начале координат:

    (2.46)

    (осями конуса служат оси Oz, Oy и Ох соответственно)

    3. Каноническое уравнение эллипсоида: (2.47).

    Частными случаями являются эллипсоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением эллипса вокруг оси Оz (При а > с эллипсоид сжат, при a < c – удлинен) и сфера (при а = b = с = r получим

    х2 + у2+ z2 + = r2 – уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат).

    4. Каноническое уравнение однополостногогиперболоида

    (2.48)

    (знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части – это изменяет только положение поверхности в пространстве). Частные случаи – однополостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Oz (мнимой оси гиперболы).

    5. Каноническое уравнение двухполостного гиперболоида

    (2.49)

    (знак “ – ” может стоять перед любым из трех слагаемых левой части).

    Частные случаи – двухполостные гиперболоиды вращения, например – поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг оси Оz (действительной оси гиперболы).

    6. Каноническое уравнение эллиптического параболоида

    (p > 0, q > 0) (2.50)

    (переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).

    7. Каноническое уравнение гиперболического параболоида

    (p > 0, q > 0) (2.51)

    (переменная z может поменяться местами с любой из переменных х и у – изменится положение поверхности в пространстве).

    Отметим, что представление об особенностях (форме) этих поверхностей легко получить, рассматривая сечения этих поверхностей плоскостями, перпендикулярными осям координат.

     

    контрольные вопросы.

    1) Какое множество точек в пространстве определяет уравнение ?

    2) Каковы канонические уравнения цилиндров второго порядка; конуса второго порядка; эллипсоида; однополостного гиперболоида; двухполостного гиперболоида; эллиптического параболоида; гиперболического параболоида?






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.